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重要的地位。
随后，我国古代数学家祖冲之又发展了刘徽的方法，一直算到圆内接正
22
24576边形，求出3。1415926＜π＜3。1215927，又求得π = 355（密率），
π =
113 7
（约率），使中国对π值的计算领先了1000年。为此，有人建议把π = 355称为
113
“祖率”，以纪念祖冲之的杰出贡献。
17 世纪以前，各国对圆周率的研究工作仍限于利用圆内接和外切正多边
形来进行。1427 年伊朗数学家阿尔·卡西把π值精确计算到小数 16 位，打
破祖冲之千年的记录。1596 年荷兰数学家鲁多夫计算到 35 位小数，当他去
世以后，人们把他算出的π数值刻在他的墓碑上，永远纪念着他的贡献（而
这块墓碑也标志着研究π的一个历史阶段的结束，欲求π的更精确的值，需
另辟途径）。
17 世纪以后，随着微积分的出现，人们便利用级数来求π值，1873 年算
至 707 位小数，1948 年算至 808 位，创分析方法计算圆周率的最高纪录。
1973 年，法国数学家纪劳德和波叶，采用 7600CDC 型电子计算机，将π
值算到 100 万位，此后不久，美国的科诺思，又将π值推进到 150 万位。1990
年美国数学家采用新的计算方法，算得π值到 4．8 亿位。
早在 1761 年，德国数学家兰伯特已证明了π是一个无理数。
将π计算到这种程度，没有太多的实用价值，但对其计算方法的研究，
却有一定的理论意义，对其他方面的数学研究有很大的启发和推动作用。
运算符号的由来
表示计算方法的符号叫做运算符号。如四则计算中的＋、…、×、÷等。
加号“＋”是加法符号，表示相加。
减号“…”是减法符号，表示相减。
“＋”与“…”这两个符号是德国数学家威特曼在 1489 年他的著作《简算
与速算》一书中首先使用的。在 1514 年被荷兰数学家赫克作为代数运算符
号，后又经法国数学家韦达的宣传和提倡，开始普及，直到 1630 年，才获得
大家的公认。
乘号“×”是乘法符号，表示相乘。1631 年，英国数学家奥特轩特提出
用符号“×”表示相乘。乘法是表示增加的另一种方法，所以把“＋”号斜过
来。另一个乘法符号“·”是德国数学家莱布尼兹首先使用的。
除号“÷”是除法符号，表示相除。用这个符号表示除法首先出现在瑞
士学者雷恩于 1656 年出版的一本代数书中。几年以后，该书被译成英文，才
逐渐被人们认识和接受。
关系符号
表示数与数、式与式或式与数之间的某种关系的特定符号，叫做关系符
号。有等号，大于号，小于号，约等于号，不等号等等。
等号：表示两个数或两个式或数与式相等的符号，记作“＝”，读作“等
于”。例如：3＋2＝5，读作三加二等于五。第一个使用符号“＝”表示相等的
是英国数学家雷科德。
大于号：表示一个数（或式）比另一个数（或式）大的符号，记作“＞”，
读作“大于”。例如：6＞5，读作六大于五。
小于号：表示一个数（或式）比另一个数（或式）小的符号，记作“＜”，
读作“小于”。例如：5＜6，读作五小于六。大于号和小于号是英国数学家
哈里奥特于 17 世纪首先使用的。
约等于号：表明两个数（或式）大约相等的符号，记作“≈”，读作“约
等于”。例如：π≈3．14，读作π约等于三点一四。
不等号：表示两个数（或式）不相等的符号，记作“≠”，读作“不等
于”。例如 4＋3≠9，读作四加三不等于九。
“ ”的来源
最早用“ ”表示根号的，是法国数学家笛卡尔。17世纪，笛卡尔在
他的著作《几何学》一书中首先用了这种数学符号。
“ ”这个符号表示两层意思：左边部分“√”是由拉丁字母“r”
演变而来的，它表示“root”即“方根”的意思；右上部的一条横线，
正如我们已经习惯的表示括号的意思，也就是对它所括的数求方根。
正因为“ ”既表示方根，又表示括号，所以凡在运算中遇到“ ”，
必须先做括号内的算式，然后再做其他运算。也就是说先要做根号运算。
奇妙的数字“9”
将循环小数化成分数，是解决有关循环小数的基本方法。怎样才能将循
环小数化成分数呢？这要请我们的老朋友——9 来帮助解决问题。我们知
道，
a
在数列计算中，有一个无穷等比数列的求和公式：S = 。其中a是这个数
1…q
列的第一项，q 是公比。下面要用这个公式来研究化循环小数为分数的方法。
先观察下面两个循环小数：0．6666……＝0．6，0．242424……＝0．24。它们都是
从小数点后的第一位开始循环的，叫做纯循环小数。为了便于计算，先将它
们写成分数的和的形式：
0．666……＝0．6＋0．06＋0．006……
= 10 100 1000 10000＋Λ
6 ＋ 6 ＋ 6 ＋ 6 Λ
0．242424……＝0．24＋0．0024＋0．000024……
= 100 10000 1000000＋Λ
24 ＋ 24 ＋ 24 Λ
1
这就变成了无穷递缩等比数列的形式。0。6666……的公比是10 ，而
1
0。242424……的公比是100。根据求和公式得：
6
0。66Λ Λ 10 6 = 6
1 =
1 101 9
10
24
0。242424Λ Λ 100 24 24
1 = =
1 1001 99
100
由此可以看出，要把纯循环小数化为分数，只要把一个循环节的数字化为分
子，让分母由 9 组成，循环节有几位数字，分母是几个 9 就行了。例如：
4
0。4444Λ Λ = 0。4 =
9
56
0。5656Λ Λ = 0。56 =
99
031233123Λ Λ = 0。3123= 3123 = 347
9999 1111
下面再来看看以下两个循环小数：
0。2888…… = 0。28 ； 0。3545454Λ Λ = 0。354它们都不是从小数点后的第一
从小数点后的第一位开始循环，这叫混循环小数。用分数的和可表示为：
2 8 8 8
0。28888 =Λ Λ 10 100 1000 10000＋Λ
＋ ＋ ＋ Λ
0。35454Λ Λ = 3 54 ＋ ＋ 54
10 1000 100000
1 1
这种和的形式，从第二项起，构成了一个分别以10、100为公比的无穷递
缩等比数列。由求和公式得：
8
2 100 2 8
0。2888Λ Λ = ＋ = ＋
10 1
1 10 10010
100
2 8 2×9＋8
= ＋ =
10 90 90
= 26 13
=
90 45
54
3 3 54
0。35454Λ Λ = ＋ 100 = ＋
10 1
1 10 100010
100
3 54 3×99＋ 54
= = ＋ =
10 990 990
= 351 = 39
990 110
由此可以看出：把混循小数化为分数，先去掉小数点，再用第二个循环
节以前的数字减去不循环部分的数字，将得到的差作为分子；分母由 9 和 0
组成，9 的个数等于一个循环节的位数，9 的后面写 0，0 的个数等于循环部
分的位数。例如：
27 2 25 5
0。27777Λ Λ = 0。27 = = =
90 90 18
0。31252525Λ Λ 0。3125= 3125 31 1547
=
9900 4950
数学的变化虽是无穷的，在研究了大量的现象或大量的例题后，应学会
从特殊的问题中，善于总结出一般规律的思考方法。
神奇的“缺 8 数”
“缺 8 数”——12345679，颇为神秘，故许多人在进行探索。
清一色 菲律宾前总统马科斯偏爱的数字不是 8，却是 7。于是有人对
他说：“总统先生，你不是挺喜欢 7 吗？拿出你的计算器，我可以送你清一
色的 7。”接着，这人就用“缺 8 数”乘以 63，顿时，777777777 映入了马
科斯先生的眼帘。
“缺 8 数”实际上并非对 7 情有独钟，它是“一碗水端平”，对所有的
数都“一视同仁”的：你只要分别用 9 的倍数（9，18……直到 81）去乘它，
则 111111111，222222222……直到 999999999 都会相继出现。
三位一体 “缺 8 数”引起研究者的浓厚兴趣，于是人们继续拿 3 的倍
数与它相乘，发现乘积竟“三位一体”地重复出现。例如：
12345679×12＝148148148
12345679×15＝185185185
12345679×57＝703703703
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