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“勾三股四径（弦）五”这个勾股定理的特例的知识了。在卷上之二中
更有“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪（斜）
2 2 2
至日”。这是明确的“勾＋股 =弦 ”的表述。所以中国发现勾股弦定
理至少比古希腊毕达哥拉斯早一个世纪。
由于战争和生产的需要，春秋战国时期各地修建了不少城防和水利
工程。这就需要运用大量的几何知识进行距离、高低、厚薄、土方等测
量。《墨子》中就记载了有关城墙、城门、垛口、城楼的一系列计算问
题，都与立体几何有关。 《春秋》记载，公元前594年鲁国首先实行对
公、私土地一律按田亩征税的“初税亩”制度，这就要对各种形状的面
积进行丈量计算。可以相信，当时对正方形、长方形、三角形、梯形和
圆等各种面积，已有了计算法则。
春秋战国时期的文献中，有不少关于测量绘图的记载。测量包括直
线测量、水准测量和垂直测量，分别称为“绳墨”、“水”和“悬”。
“绳墨”就是打墨线以取直，“水”就是以水平面为标准测量坡度和高
程；“悬”就是用铅垂线以定竖直。
在制造各种农具、车辆、兵器和乐器中，常会遇到不同部位有不同
角度的问题，所以当时已形成了角的概念以及衡量角度大小的一些单
位。 《考工记》把角称为“倨句”（j） g#u，音巨勾），“倨”就是钝，
“句”就是锐。直角被称为“倨句中矩”或“一矩”。在“磬氏”节中
讲“磬氏为磬，倨句一矩有半”。这是说石磬背部折角的大小是一个直
角（矩）再加上半个直角，即135°。
（3）组合数学思想的萌芽
流传至今的最古典籍之一《易经》，是符合体系与概念体系的统一
体。它的符号体系中包含有严格的数学逻辑性。这种符号体系是由代表
“阴爻”的“”和代表“阳爻”的“—”两种基本符号通过排列组合
而得出的“四象”、“八卦”和“六十四卦”的集合。
2
把“—”“”分别与“—”、“”排列一次，共有2=4种组合，
就是“四象”；再把“—”、“”与“四象”各配一次，即由三个爻
3
组成一组，共有2=8种组合，就是“八卦”。八种符号分别象征天（）、
地（ ）、水（）、火（ ）、风（ ）、雷（）、山（）、泽（ ）
八种自然事物，再分别赋予乾、坤、坎、离、巽、震、艮、兑八个卦名，
同时还分别代表八个方向。把八卦的每一卦都和八卦相配一次，即取六
6
个爻组成一组，共有2=64种组合，即“八八六十四卦”。由于“阴”
和“阳”是中国古人对一切事物和现象中两种对立力量的高度概括，因
而由“阴”和“阳”两种符号排列组合而形成的“六十四卦”，就可以
表示出事物和现象的六十四种可能的状态；卦爻从下 （第一个初爻）到
上 （第六个上爻）的每种排列，就可以表示出事物的某种发展过程。这
样， 《周易》就给出了一个朴素的、具有一定逻辑结构的关于事物发展
变化的描述体系。
卦爻还包含了二进制的数学思想。如果把阴爻“”以“0”代替，
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把阳爻“—”用“1”代替，可以看出易卦就是二进制数码组。八卦和二
进制数码的对应关系为：
坤 艮 坎 巽 震 离 兑 乾
卦 画
二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111
十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7
①
所以，六十四卦也可以表成二进制展开式和相应的自然数序 ：
000000 000001 000010 000011 000100 000101 000110 000111
00 01 02 03 04 05 06 07
001000 001001 001010 001011 001100 001101 001110 001111
08 09 10 11 12 13 14 15
010000 010001 010010 010011 010100 010101 010110 010111
16 17 18 19 20 21 22 23
011000 011001 011010 011011 011100 011101 011110 011111
24 25 26 27 28 29 30 31
100000 100001 100010 100011 100100 100101 100110 100111
32 33 34 35 36 37 38 39
101000 101001 101010 101011 101100 101101 101110 101111
40 41 42 43 44 45 46 47
110000 110001 110010 110011 110100 110101 110110 110111
48 49 50 51 52 53 54 55
111000 111001 111010 111011 111100 111101 111110 111111
56 57 58 59 60 61 62 63
此外，春秋战国时期，在实用数学知识丰富积累的基础上，一些思
想家也开始探讨一些抽象的数学理论问题。在《墨经》的《经上》和《经
说上》中，记载了墨家关于数学、特别是几何学 （形学）问题的论述。
这些论述包括了有关“平、“直”、“体”、“同长”、“中”、“圆”、
“方”、“倍”、“厚”、“端”、“间”、“盈”、“撄”以及空间
的“有穷”、“无穷”和时间的“始”的定义和说明，包含了丰富的数
理科学思想和严密的逻辑推理。在《经下》和《经说下》中，有关于“十
进位值制”和用“进前取”与“前后取”两种方法分割线段而得到“不
可■”的“端”（点）的说明。在《庄子·天下》篇中，记载了名家惠
施和公孙龙等辩者所提出的一些与数学思想有关的论题。如“至大无外
谓之大一，至小无内谓之小一”、“飞鸟之影未尝动也”、“镞矢之疾，
而有不行不止之时”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。所谓“大
一”和“小一”，从物理学的角度可理解为“宇宙”和“原子”；而从
数学的角度来说，“大一”可理解为空间、时间的整体，“小一”可理
解为空间的“点”和时间的“瞬时”。第二条说鸟在飞翔过程中，每一
瞬时投在地面上特定位置的影子是没有移动的；这和第三条所说的“飞
矢”的情况一样，射出的箭每一瞬时都占有空间一个特定的位置，因而
在该瞬时可以说是静止在这个位置上的。但它同时又正在离开这个位
① 按照宋代邵雍的“六十四卦方图”译排。
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置，这就是“不行不止”的状态。第四条中的“棰”指古代一种策马杖，
是一尺来长的木棒。文中说每天从所剩下的长度中取其一半，永远也不
会取完。从数学上说，这个命题相当于
L可以无限地趋近于零，但无论n为多么大的数，L也永远不会等于零。
七、古代生物学和医学知识
1。西亚、北非和印度的古代医学和生物学
农业是“应用”生物学的最早形式之一。随着农业的发展，古代生
物学知识也逐渐丰富起来。在两河流域的泥版书上，可以看到100种动
物和250种植物的名称；他们还对动物作了世界上最早的分类。马可能
最早是在欧亚草原上被驯养的。到公元前11世纪左�