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的出发点 ：一种看法认为欧几里得认为在他前几篇中所用的量的概念中
并不包括数；因此需要把关于数的比的命题重新证一遍；另一种看法是
关于整数和可公度比的理论是欧多克斯以前就有的，欧里得很可能是按
传统方式对独立发展的毕达哥拉斯的理论和欧多克斯的理论分别加以介
绍。
① 克莱因：《古今数学思想》第一册，第73 页。
① 克莱因：《古今数学思想》第一册，第88 页。
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第10篇有115个命题，主要是对无理量（即与给定量不可公度的量）
进行分类。
第11篇首先给出了关于立体、立体的边界、直线与平面的垂直、两
平面的垂直、平面与平面的夹角等的定义，另外还定义了平行平面、相
似立体形、立体角、棱锥、棱柱、球、圆锥、圆柱、立方体、正八面体、
正十二面体等立体形。这一篇的39个定理，证明了直角和平面的性质以
及多面体的一些特殊情形。
第12篇有18个命题，主要证明了关于面积和体积的定理，特别是
关于曲线和曲面所围成的面积和体积。欧几里得的证明体现了穷竭法的
思想。
第13篇有18个命题，讨论了正多边形的性质及其内接于圆时的性
质，并论述了怎样把5种正多面体内接于一个球的问题。
《几何原本》全书这467个命题，涉及初等几何的各个方面，反映
了古希腊几何学的成就。全书内容是由少数定义、公设、公理演绎而得，
足见欧几里得选择公理、编排体系之出色。当然，这部巨著也并非没有
缺点：有个别证明证错了，也有些定义含糊而不明晰；有的内容前后重
复，也有些内容带有前人著作堆砌的痕迹。然而，暇不掩瑜，这些缺点
同这部巨著的成就相比是微不足道的，《几何原本》的成功使它对数学
发展的影响超过任何一本书。《几何原本》起初以手抄本形式流传，在
欧几里得死后700年，《几何原本》出版。1120年被译成拉丁文，1570
年出现英译本，到19世纪末，已有1000多种版本。中国最早的译本是
1607年 （明朝万历丁未年），由利玛窦和徐光启合译的《几何原本》前
6卷，1857年 （清朝咸丰7年）由伟烈亚力和李善兰合译了后9卷。还
应特别指出的是， 《几何原本》在数学教育上的不容忽视的价值。直到
19世纪末，《几何原本》一直是几何学的教学课本；就是在当代，《几
何原本》的一些内容仍是中学几何教材所不可缺的。它作为学生接受严
格的逻辑训练和数学训练的工具，曾经训练出一代又一代的数学家和科
学家。
欧几里得在数学研究上还做了其它一些工作，保存下来的有他的两
本数学著作——《数据》和《论图形的剖分》，《数据》中的材料与《几
何原本》基本相同，只是某些特殊定理有所不同，它可能是供学习《几
何原本》用的习题集； 《论图形的剖分》则主要讨论了如何把所给图形
分成其它图形。欧几里得还有几部已失传的数学著作，根据后人记载的
情况看，有一本《二次曲线》，据说这本书成为阿波罗尼乌斯的《圆锥
曲线》中头3篇的主要内容；还有 《衍论》和《曲面—轨迹》，这两本
书的大部分内容和性质已无人知道，据后人的零散记载推测，前一部书
可能是和几何做图有关，后一部书可能是讨论曲面的轨迹问题；另外还
有一本《辨伪术》，可能是书中包含有故意给出的错误证明，以达训练
学生的目的。在欧几里得的天文学教本《现象》中，涉及到球面几何的
问题。
（7）阿基米德的数学工作与贡献
阿基米德（公元前287～前212）是西西里岛叙拉古人，当时叙拉古
是希腊的一个殖民城市。他青年时代到亚历山大城求学，后来返回叙拉
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古从事研究，但始终与亚历山大学派的学者们保持联系。阿基米德兴趣
广泛，才智高超，他在数学、力学和天文学上都有重大贡献。他还具有
非凡的机械技巧，有一些发明创造。由于他的一系列成就，使得阿基米
德在古希腊学术界十分有名。以至后世流传了许多关于他的传说和故
事，而且这些传说都和他醉心于科学有关。据说，阿基米德在临死关头
仍不忘他的数学研究。阿基米德死后，人们在他的墓碑上刻了一个球内
切于圆柱的图形，以作纪念。因为阿基米德生前曾证明了球的体积和表
面积分别是其外切圆柱体积和表面积的2/3。
阿基米德在数学上的主要工作和贡献有这么几个方面：
①用穷竭法求出面积和体积。这是阿基米德最重要，也是最有特色
的工作。他做出了穷竭法最巧妙的应用，并且他的方法最接近于现行的
积分法。他在 《抛物线的求积》一书中，求抛物线弓形的面积就是一个
精彩的例证。图6。11中PQq是抛物线弓形，Pv是直径，并平分Qq及与
Qq平行的所有的弦，v1、v'分别是PQ和Pq的中点。根据抛物线的几何
性质，阿基米德证明了△PPQ＋ △
1
1
PP' q＝ △PQq 。在新得到的弦QP 、P P、PP' 和P ′q上照上
1 4 1 1 1 1
述方法可以使 做三角形的过程不断进行 下去。这里，抛物线弓形的
面积就可以用在原来的三角形PQq上加添一系列三角形而得出：
1 1
S＝△PQq＋ △PQq十 △PQq……
4 16
4
＝ △PQq 。
3
阿基米德首先对上述结果作出了证明。他的结果是通过对上式中公比为
1/4的几何数列的头几项求和得到的。然后，他利用双归谬法，即若S
4 4 4
＞ △PQq或S＜ △PQq均产生矛盾或不可能而对S = △PQq
3 3 3
给出严格证明。
阿基米德在他的主要著作《论螺线》中，定义了一种新的曲线。设
有一直线将其一端固定后，在一平面内绕定点作匀速运动；同时直线上
有一点从定点沿直线作匀速运动，那么这个动点
图6。12阿基米德螺线
将描出一条螺线。这就是著名的“阿基米德螺线”。这部著作中最深刻
的结果是用类似于积分的方法确定了螺线一圈所围的面积。其命题是：
螺线第一圈与初始线所围的面积等于第一个圆的1/3，如图6。12。第一
2
个圆的半径OA＝a，因此，螺线第一圈与初始线所围的面积S＝πa/3。
对此证明也是用穷竭法作出的，证明方法是把圆周n等分，于是就可作
出与螺线弧所围面积相对应的外接扇形和内接扇形。面积S大于所有内
接扇形面积之和，而小于所有外接扇形面积之和。阿基米德仍通过穷竭
1
过程，并用双归谬法最后证明了S＝ πa2 。这里，同样用的是穷
3
竭法，但与求抛物线弓形面积时靠增添越来越多的三角形相比，新颖之
处是阿基米德选取了越来越小的扇形。这种做法对后人是极有启发的，
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尽管阿基米德的证明中没有明确的极限步骤，但是他的证明过程中已经
有了微积分思想的萌芽。
在《论球和圆柱》的著作中，阿基米德利用穷竭法还证明了许多命
题，其中有：
任一正圆柱 （不计上、下底）的表面积等于一圆的面积，该圆半径
是圆柱高与底直径的比例中项；
任一球的面积等于球大圆面积的4倍；
以球的大圆为底，以球的直径为高的圆柱，�