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处理不可公度问题了，却避开了代数和无理数，从而造成希腊人在运算
能力上的不足，与几何学的高度发展形成鲜明的对照。
欧多克斯的另一重要贡献是对穷竭法的发展。穷竭法通常是以欧多
克斯命名的，因为后人认为欧多克斯尽管不是提出穷竭法思想的第一
人，但穷竭法确是在他那里得到补充、完善、发展和推广的。欧几里德
《几何原本》第十篇的第一个命题就是作为穷竭法基础的重要引理，这
个引理的意思是：如果从任何量中减去一个不小于它的一半的部分，再
从余下的部分中减去不小于这个余量一半的部分，等等，到最后将留下
一个小于任何给定的同类量的部分。这个引理被认为是欧多克斯曾经证
明而由欧几里德在《几何原本》中表述出来的。在此基础上，欧多克斯
用穷竭法证明了两圆面积之比等于其半径平方之比，两球体积之比等于
其半径立方之比，棱锥体积是同底同高棱柱体积的1/3，圆锥体积是同底
同高圆柱体积的1/3等。
① 柏拉图：《国家》，引自《西方哲学原著选读》上卷，第92 页。
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（6）欧几里得与 《几何原本》
欧几里得（约公元前330～前275）是亚历山大前期的第一个大数学
家。亚历山大前期是指从公元前4世纪到公元前146年古希腊灭亡，罗
马成为地中海区域的统治者为止，这一时期，希腊数学发展达到了鼎盛
时期。欧几里得生于雅典，曾就学于柏拉图学派。大约在公元前300年
左右，在托勒密一世王的邀请下，欧几里得来到亚历山大城传授数学。
在此，欧几里得完成了他的代表作，也是希腊数学的百科全书—— 《几
何原本》。古希腊几何学从泰勒斯开始，经毕达哥拉斯学派到柏拉图学
派，发展为建立在定义和公理基础上演绎而成的一套严密体系。欧几里
得的 《几何原本》是集大成之作，充分地体现了古希腊几何学的发展结
果，成为标志古代希腊几何学形成完整体系的里程碑。欧几里得不仅在
选择公理和编排定理次序上下了一番功夫，而且他还增补了一些定理，
给出了一些证明；特别是体系的严谨与论证的严密更使后人赞叹不已。
《几何原本》的论述结构是以少量原始概念和不需证明的几何学命题作
为定义、公理与公设，由此出发通过逻辑推理证明一系列的几何定理，
形成一个由简至繁的体系。这种公理化方法，至今仍是构造科学理论体
系的重要方法。
《几何原本》的内容共计有13篇，有的版本列出15篇，其中第14
篇和第15篇非欧几里德所作，而是后人补上去的。
第1篇首先给出了23个定义，涉及到点、线、面、圆和平行线等一
①
批原始概念；然后提出了5个公设和5个公理 ：
公设 1。从任一点到任一点作直线 （是可能的）。
2。把有限直线不断循直线延长 （是可能的）。
3。以任一点为中心和任一距离（为半径）作一圆（是可能的）。
4。所有直角彼此相等。
5。若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直
线无限延长后必相交于该侧的一点。
公理1。跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。
2。等量加等量，总量仍相等。
3。等量减等量，余量仍相等。
4。彼此重合的东西是相等的。
5。整体大于部分。
欧几里得同意亚里士多德的观点，即认为公理是适用于一切科学的真
理，而公设则只适用于几何学。其中第5公设是欧几里得的杰作，他可
能认为为了避免出现无限远空间的问题，这一公设是必要的。但是，这
个公设由于不如前4个公设那么一望而知，人们不容易一下子接受，甚
至有人认为欧几里得之所以把它作为公设，是因为他无法证明它。这成
为《几何原本》的一个“污点”，为洗刷这一污点，在欧几里得提出这
一公设之后，不断引起人们用其它公理和公设予以证明的努力以及对它
的种种怀疑。在此后的两千年间，对它证明的努力终于失败，而对它的
怀疑则产生了非欧几何。1826年，俄罗斯数学家罗巴契夫斯基 （1792～
① 克莱因：《古今数学思想》第一册，第69 页。
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1856）宣读了他的关于非欧几何的论文《简要叙述平行线定理的一个严
格证明》，这标志着几何学的新革命。非欧几何的发展不仅为相对论的
产生准备了条件，更为重要的是它所引入的新思想，从根本上更新了古
老的几何观念。这一结果是欧几里得无法预料的。
第1编在公设和公理之后，还给出了48个命题。这48个命题的内
容可以分为3类，第一类是从命题1到命题26，主要讨论了三角形和垂
直（垂线）问题，包括三角形的三个全等定理；第二类是从命题27到命
题32，主要讨论了平行线问题，并证明了三角形的三个内角之和等于两
个直角；第三类是从命题33到命题48，主要讨论了平行边四形、三角形
和正方形，特别注意面积问题，最后的两个命题分别证明了毕达哥拉斯
①
定理及其逆定理。关于毕达哥拉斯定理的证明是通过面积做出的 ，如图
6。10，先证出△ABD△FBC，矩形BL＝2△ABD，正方形GB＝2△FBC，于
是得到：矩形BL＝正方形GB，同样有矩形CL＝正方形AK。所以，正方
2 2 2
形BE=正方形GB＋正方形AK，即BC＝AB＋AC。
图6。10毕达哥拉斯定理的证明
第2篇有14个命题，主要讨论了面积的变换和几何代数法，特别是
几何代数法，反映了希腊数学发展的特点。从毕达哥拉斯学派开始，希
腊人不承认存在无理数，所以他们用线段来代替数，处理长度、角度、
面积和体积。这样，两数的乘积为两边长等于两数的矩形的面积；三数
的乘积为棱长、宽和高分别等于三数的长方体体积；两数相加减则用把
一线段延长或对一线段截割来表示；两数相除则为两线段之比。
第3篇有37个命题，这些命题全部与圆有关。它首先给出了与圆有
关的一些定义，然后讨论了弦、切线、割线、圆心角及圆周角等问题。
第4篇有16个命题，主要讨论了圆内接和圆外切图形。在圆内接正
多边形中，除了正方形、正五边形和正六边形之外，最后的命题还指出
了正十五边形的建立。据说，圆内接正十五边形产生于天文学。
第5篇先给出了18个定义，涉及几个量之比的相互关系；然后用25
个定理证明了比例的一些基本性质。这一篇被认为是对欧多克斯的比例
理论的阐述。
第6篇有33个命题，主要是利用第5篇的比例理论讨论了相似形问
题。
第7篇至第9篇共有102个命题，主要讨论了数论，即整数和整数
之比的性质问题。《几何原本》中只有这3篇讨论了算术问题，不过，
关于比例的定义和定理，有很多是重复了第5篇的内容。那么为什么欧
几里德仍然要把数论列为独立的篇章呢？有两种看法，推测了欧几里得
①
的出发点 ：一种看法认为欧几里得认为在他前几篇中所用的量的概念中
并不包括数；因此需要把关于数的比的命题重新证一遍；另一