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1 2
2 2 2 2
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ …10 = （1
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2
直角。他们曾用A＝C/12（C为圆周长）这个法则计算圆面积，这实际
上是用了π＝3；在近期发现的一块泥版上，在给出正六边形及其外
1
接圆周长之比时，其结果表明他们是用3 作为π的近似值。
8
古巴比伦的数学具有明显的实用性质，重在具体计算，而缺少抽象
的数学问题。频繁的商业活动需要他们用算术和简单代数知识计算长
度、重量、单利、复利、税额，国家和社会之间粮食的分配，划分土地
和处理遗产引出的代数问题等。另外，制订历书，预测天象，挖运河，
修堤坝，建谷仓和房屋等，都会引出大量的数字计算和几何问题。这使
他们把算术推进到相当高的水平并出现了代数的开端。但总的说来，他
们的算术、代数和几何学法则，都是根据物理事实摸索积累或直观得出
的。而关于证明、解题的逻辑步骤和结构，以及各种问题求解的条件等，
在巴比伦的数学里是找不到的。
（2）埃及的数学知识
古代埃及的数学没有达到巴比伦数学那样的水平，这很可能是由于
巴比伦的经济发展速度较快，贸易更为活跃所致。
直到公元前332年亚历山大大帝征服埃及之前，埃及文明一直按照
它自己的道路延续着。现存的埃及古代数学资料主要是产生于公元前
1700年左右的两批纸草书。一批保存在莫斯科，被称为“莫斯科纸草书”；
一批是 1858年英国人 HenryRhind发现的，保存在英国博物馆，称为
“Rhind纸草书”。前者包含有25个数学问题，后者包含有85个数学问
题。这些问题大概是埃及人早在公元前三千年前已经知道的典型问题和
典型解法的范例。从那时以后，埃及的数学知识和技巧很少有新的发展，
甚至可能还有所退步。
埃及僧侣文的整数写法如图6。2所示。由于书写方式是自右而左的，
所以｜｜｜nn表示23。
图6。2埃及僧侣文的整数记号
埃及的算术主要用迭加法，加减法就是用添上或划掉一些记号而得
出结果，乘除法也具有加法的特征。由于任何一个数都可以组成2的各
次幂的和，所以乘法和除法通常可用连续加倍的运算来完成。比如求11
乘13的积，其作法是：
1 11
2 22
4 44
8 88
由于13＝1＋4＋8，所以只要把与1、4、8对应的倍数加起来即可，即
11＋44＋88＝143。如果要将521除以23，则可连续地将23加倍并相加，
直到超过543为止，步骤如
1 23
2 46
4 92
8 184
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16 368
由于
521＝368＋153
＝368＋92＋61
＝368＋92＋46＋15
所以其商为16＋4＋2＝22，余数为15。
埃及数系中也有分数的记法，但比较复杂，他们是在整数顶上记上
计算时，把所有分数都拆成所谓“单位分数”（即分子为1的分数）再
2 1 1 2 1 1
取和求出。例如
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（3）古印度的数学知识
古代印度的数学成就，没有达到古巴比伦和埃及的高度，不过在受
到希腊数学的影响之前，也有他们自具特色的一些成就。
由于缺少可靠的记录，对公元前800年之前印度数学的发展，目前
知之甚少，只是从一些早期城市遗迹和灌溉工程可知，古印度人早已有
了书写、计算和度量衡体系，并且有了很基本的数学和工程知识。
公元前800年到公元前200年，是印度产生“绳法经”的年代。“绳
法经”是一类宗教经文，包含有修筑祭坛的法则。在这些宗教作品以及
一些钱币和铭文中，都包含着一些有关数学的内容。
在亚历山大大帝于公元前326年征服西北印度后，建立了莫尔雅帝
国，并很快扩展到全印度。莫尔雅最著名的统治者阿索库（公元前272
—前 232）在印度的每个重要城市立了大石柱，保存下了当时的数字符
号。这些符号后来不断发生变化，最典型的是如图6。3所示的Brahmi式
记号。这一组记号从1到9的每一个数都有一个特殊的符号，这是它的
优越之处；缺陷是没有零，也没有进位记法。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20
30 40 50 60
图6。3古印度的数字记号
在公元前5或4世纪出现的一部“绳法经”里，在讲到拉绳设计祭
坛时，包含了一些古印度时期所知的几何法则。这些法则规定了祭坛的
形状和尺寸所应满足的条件，最常用的是正方形、圆形和半圆形三种形
状；但不管何种形状，祭坛的面积必须相等。他们掌握了怎样求等于两
个正方形之和或差的一个正方形，或等于一个给定矩形的正方形；他们
还能作出与正方形等面积的圆。或两倍于正方形面积的圆以便采用半圆
形的祭坛。他们实际上用到了下述解圆方问题的法则：
S
d＝（2十 2 ） ，
3
S＝13d/15。
其中d为圆的直径，S为面积相等的正方形的边。他们实际上是取π＝
3。09 。关于 2，“绳法经”给出了它的近似值：
1 1 1
2
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进数学，从而使数学由经验知识上升为理论知识，特别是初等几何，它
的演绎的理论形式被推崇为数学科学的典范，其影响一直持续到今。
（1）泰勒斯的工作
古希腊的第一位著名数学家是泰勒斯，他被认为是希腊几何学的始
祖。泰勒斯的几何学知识最初是跟埃及人学的。在埃及，由于尼罗河水
常常泛滥，也就需要经常重新丈量土地，所以几何学的一些知识最早是
埃及人发现的。据说，泰勒斯在埃及旅行时，曾巧妙地利用几何学知识
解决了一个难题。当时，埃及祭司们想测量金字塔的高度，但又找不到
测量的方法。泰勒斯则利用他学到的几何学知识解决了这一难题。他的
具体方法历史上有两种不同的说法。一种说法是，泰勒斯在阳光以45°
的角度照射金字塔时，根据金字塔阴影的长度求得了结果：金字塔高就
等于阴影的长度。这个传说似乎表明泰勒斯已具有等腰三角形的知识。
还有一种说法是，泰勒斯用一根已知长度的杆子，通过同时测量杆影和
金字塔影的长度，利用杆影长与塔影长的比等于杆高与塔高的比，算出
塔高。这种说法则表明泰勒斯已懂得比例的道理。但是，也有人提出疑
问，金字塔的底非常大，影长是从影子的顶点到金字塔底的中心，这个
影长是难以直接量的。后人提出，可能的办法是作两次观测。第一次观
测时记下杆影顶点在A处，塔影顶点在a处；第二次观测时记下杆影顶
点在B处，塔影顶点