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测时记下杆影顶点在A处，塔影顶点在a处；第二次观测时记下杆影顶
点在B处，塔影顶点在b处。 AB与ab的比就等于杆高和塔高的比，从
①
而求出金字塔的高度 。总而言之，泰勒斯的成就超过了他的老师们。
埃及人的几何学知识还只是停留在经验的层次上，到泰勒斯，几何
学开始建立在一般原理的演绎基础上，后人把几条最早的几何定理归于
泰勒斯的发现，这成为他在几何学上的主要贡献。这几条定理是：
①圆的直径平分圆周；
②内接于半圆的角是直角；
③等腰三角形的两个底角相等；
④两条直线相交时，对顶角相等；
⑤两个三角形有一边及这边上的两个角对应相等，则这两个三角形
全等。
据载，泰勒斯曾应用两个三角形全等的定理，测定船舶离岸的远近。
他的求法是这样的：见图6。4，A是岸上一点，船在A的正前方P点。在
岸上作AP的垂线AB，找出AB的中点C。测量者沿垂直于AB的方向走，
直到在K点观测使K、C、P三点在一条直线上。可以知道三角形APC与
三角形BKC全等，从而AP等于BK；BK可以直接测量出，那么从岸上一
②
点A到船的距离就可以得到 。
图6。4泰勒斯测定船离岸的距离
至于泰勒斯是否对上述定理作过证明，现在还没有发现这方面的资
料。这些定理很可能是在大量观察的基础上，经过反复实践证明，成为
大家公认的事实。泰勒斯只不过予以抽象和总结。
① 参阅梁宗巨《世界数学史简编》，辽宁人民出版社1981 年版，第96 页。
② 参阅中外数学简史编写组《外国数学简史》，山东教育出版社1987 年版，第91 页。
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（2）毕达哥拉斯学派的数学研究
毕达哥拉斯学派认为宇宙的本原是数，可见他们对数的重视。在对
宇宙结构的研究中，他们还发现了其中的一些数学关系，这对他们试图
建立一种以数解释宇宙现象的哲学，无疑是一种鼓舞。因此，毕达哥拉
斯学派使数学的研究发生了重大的变化。在巴比伦和埃及，对数学的研
究基本上还是处于经验的阶段。而从毕达哥拉斯开始，产生了数的抽象
概念，进而由研究个别的抽象的数过渡到研究它们的一般规律。这种与
自然运算的一般性质有关的研究被称为算术的一个分支——理论算术。
毕达哥拉斯学派最早大概是用沙粒或石子来计算的，因为他们常把
数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并且按照它们所能排列而成的形状进
行了数的分类。如图6。5，1、3、6、10，这些数 叫三角形数，因为相
应的点 可以排列成正三角形；1、49、16，这些数叫做正方形 数，
因为相应的点能排成正方形。这样，他们就把数和 图6。5三角形数与
正方形数形联系起来了，而且使得数的一些性质变得比较明显。比如，
如图6。6中划了一条斜线后，就可以得出：两个相继的三角形数之和是
正方形数；再如从图6。6中所 图6。6三角形数与正方形数的关系示的
方法可以从一个正方形数得出另一个正方形数。毕达哥拉斯还得到了五
边形数、六边形数和其它多边形数。
图6。5三角形数与正方形数
图6。6三角形数与正方形数的关系
毕达哥拉斯学派通过数与数之间的某种关系，对数进行了分类。如
果一个数等于它的所有因数 （能除尽该数的数，包括1而不包括该数本
身）的和，他们称这个数为完全数。6就是一个完全数，6=1＋2＋3，还
有28，496等也是完全数。如果一个数大于其因数之和的叫盈数，小于
其因数之和的叫亏数；如果有两个数，一个数是另一个数的因数和，则
这二个数称为亲和数 （如284与220）。
毕达哥拉斯学派还搞了一个法则，用这个法则可以求出直角三角形
三边的三元数组。用现代的记法，可以将这一法则表述为：若m是奇数，
2？ 2
则m、（m 1）/2及 （m＋1）/2就是这种三元数组。如今人们把形成
直角三角形三条边的三个整数所构成的数组统称为毕达哥拉斯三元数
组。
毕达哥拉斯所说的数指的是整数，而实际上直角三角形边长之比却
不能总用整数表达，也就是存在着不可公度比。毕达哥拉斯学派把那些
能用整数表达的比称为公度比，含义是对相比较的两个量可以用公共度
量单位量尽；而把那些用公共度量单位量不尽的量之比称为不可公度
比。正是这个“不可公度”问题，使得毕达哥拉斯学派未能在理论算术
这一分支取得更进一步的成果，而把注意力转向了几何学。
毕达哥拉斯学派遇到的“不可公度”问题，实际上就是发现了 2
是一个不能用整数或分数来表达的数。用现代数学的语言讲，就是 2 是
不能用十进有限小数来表达的数。2 不可公度问题的来源可能有三个因
素：①在几何中，求正方形对角线与边的公共度量；②在算术中，某一
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数的平方为另一数平方的2倍，即X＝2a，求X，则X＝ 2 a；③在音
乐理论中，将八度音对半地分开时，归结为求1和2之间的几何平均数。
毕达哥拉斯可能主要是由于发现等腰直角三角形斜边与一直角边之比或
正方形对角线与其一边之比，不能用整数表达而发现不可公度问题的。
因为，“直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方之和”，在西方
就称为毕达哥拉斯定理。关于这个定理，中国人、巴比伦人、埃及人和
印度人早已知道这个定理的部分情况。而一般认为是古希腊人予以证明
了的，是毕达哥拉斯学派用比例和相似三角形的理论证明的。传说，毕
达哥拉斯在证明出这个定理以后，心情特别激动，宰了一百头牲畜来祭
缪斯女神 （神话中掌管文艺、科学的女神），进行庆祝。然而，不可公
度问题使毕达哥拉斯学派感到十分震惊。明明是一个固定的量，却不能
用整数或整数之比来表示。这使他们企图用数来表示宇宙万物的想法受
到了挫折。传说，毕达哥拉斯学派不仅对这个发现严格保密，而且揭露
了不可公度事实的那个毕达哥拉斯学派的门徒，竟然在一次航海中被其
他门徒扔进了大海。这个传说反映了，不可公度量在毕达哥拉斯学派内
部引起了极大的思想混乱与恐慌。 2 是一个实际存在的量，它虽然不能
用整数或分数来表达，却可以用几何方法做出来，两个直角边为1的直
角三角形的斜边的长度就是 2 。这样一个情况，使毕达哥拉斯学派在数
量研究的方向上发生了很大的转折。从此，毕达哥拉斯学派回避用算术
和代数方法来解决实际问题，而是尽可能地用几何方法来解决实际问
题。
在几何学方面，毕达哥拉斯学派还发现平面可以用等边三角形、正
方形和正六边形填满，空间可以用立方体来填满；三角形内角之和等于
180°等。他们曾用正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体来表示
火、土、气、水这四大元素；后来又发现了正十二面体，于是用来表示
宇宙全体。据说，有关三角形、平行线、多边形、圆、球和正多面体方
面的一些定理，也是毕达哥拉斯学派发现和证明的。但是，目前还没有
找到这方面的原始资料。
（3）芝诺悖论与极限思想
芝诺（约公元前496～前430）是古希腊爱利亚学派奠基人巴门尼德
的学生，是爱利亚学派的主要活动人物。在哲学史上，芝诺提出的关于
运动的4个悖论是占有重要地位的。芝诺悖论的提出，是为了论证运动