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2 2 2 2
（a＋b）=a＋2ab＋b=a＋（2a＋b）b
则可以把一个数的平方根分成几位数字来求。先求出平方根的最高位数
2
字a的平方而得到余数。如若原来的数可以表达成（a＋b）的形式，那末这
个余数一定能写成 （2a＋b）b的形式。此时，我们用2a去试除余数，看看商
数是多少，然后定出平方根的次高位数字b。假如（2a＋b）b刚好等于这个余
数，则原数的平方根就等于a＋b。否则，把a＋b当成原来的a，而将上述手续
继续进行下去。如果要求一个数的立方根，则根据等式
3 3 2 2 3
（a＋b）=a＋3ab＋3ab＋b
3 2 2
=a＋（3a＋3ab＋b）b
先求出它的最高位数a，再从原来的数减去a的立方而得到余数。然后
2 2 2
用3a去试除余数，定出立方根的次高位数b。再从余数减去（3a＋3ab＋b）
b。如果得到新余数等于零，则立方根就是（a＋b）；不然又可把 a＋b当成a
继续进行这种步骤。例如要求4913的立方根，按照贾宪创造的这种方法，就
有下述算式
10 4913
1000
2
3a2 3913
3ag
2 2
b 3a2
所以有
3
4913
这种方法正是我们今天教科书中介绍的方法。而类似的方法在欧洲则要到
1804年和1819年才分别由意大利数学家鲁菲尼与英国数学家霍纳提出，比
贾宪迟了大约800年。
贾宪创造的开平方法和立方法摆脱了《九章算术》中刘徽阐释的几何方
法的约束，开辟了寻求纯代数法的道路，使得这种“增乘开方法”有可能推
广到更高次的情形去。虽然几何直觉启示人们发现了不少新命题和新方法，
但是这种直观性的思维对更高维的问题却往往无能为力。《九章算术》中记
载的开平方法和开立方法，依靠几何直观，无法解决更高次的开方问题，只
有另辟蹊径，才有希望在这里取得突破。在这一领域中，我们的先辈进行了
长时期的摸索和试探。从刘徽到贾宪，中间相隔了800年左右的时间。取得
这种突破的艰巨性就可想而知了。更加令人自豪的是， 《九章算术》提出了
完整的开平方法和开立方法后，好像是等待了世界800年，最后还是由中国
人自己把这个问题彻底解决。贾宪在找到了开平方和开立方的新方法后，继
续向前迈进，终于解决了任意高次幂的开方问题。
用开平方和开立方的“增乘开方法”解决了四次以上的开方问题，首先
必须知道四次以上二项展开式的系数。到这时，杨辉三角的诞生就成为非常
必要的了。而早已熟知的二次、三次情形下的二项展开式的系数，则又为贾
宪探求二项系数所排成的三角形数表的规律准备了富有启发性的特例，从而
为贾宪最终完成这一杰作提供了可能条件。从刘徽解释开平方和开立方的几
何意义，到贾宪发现杨辉三角，从而完成更高次的开方问题，这实在是合乎
逻辑的必然结果。有了杨辉三角，就可以求得任意高次二项展开式的系数，
因而也就从理论上来说解决了任意高次的开方问题。早在11世纪中叶便解决
了开任意高次幂的开方法问题，这不能不说是中国古代数学家的一项杰出的
创造。杨辉的 《详解九章算法》收录了许多早已失传的各种数学著作中的一
些问题和算法，“增乘开方法”和“开方作法本源”图就是通过杨辉著作的
阐释才得于留传至今。在这个意义上，把“开方作法本源”图冠于杨辉之名
也是当之无愧的。
当然，欧洲数学家在这方面的成就也是不能抹煞的。巴斯加的贡献在于
发现了二项展开式的系数与组合数之间的联系。为牛顿发明二项式定理 （即
c…1 n
不必利用 （a＋b） 而直接得到（a＋b）的展开式，并把指数n的从正整数
推广到分数和负数）奠定了基础。值得人们继续探索的一个问题是，欧洲人
究竟是从什么角度去发现二项式系数所组成的三角形数表的。如果说这也来
自于对开方问题的研究，那末如前面提到的，开平方和开立方的鲁菲尼—霍
纳法要到19世纪初才出现；如果说它直接来自于对组合数的研究，那末正如
欧美数学史家所说的那样，在巴斯加之前，对组合数的研究，是和二项式方
面的工作无关的。
总而言之，二项展开式系数所组成的三角形数表的发现，即使似文字记
载为依据，也是1261年杨辉的《详解九章算法》为最早的记录。在中亚细亚，
阿尔·卡西载有类似数表的《算术之钥》发表于1427年，而欧洲首先发现的
这种数表，是印在1527年德国数学家阿皮纳斯所著的一本书的封面上。《详
解九章算法》比它们早了二三百年。如果从11世纪的贾宪算起，则早于它们
四五百年。
谁最早求得精确的圆周率
科学家们都十分注意古代数学家为了获得圆周与直径之比 （圆周率π）
的近似值所作的努力，大约这是由于圆周率的精确程度足以衡量各个民族在
各个时期数学的水平。
各文明古国在圆周率精确程度的研究上都作过重要的贡献，表现了他们
的聪明才智。
4000年前，埃及人已经能应用不少数学知识解决实际问题，其中就用到
圆周率π。因为在进行有关圆形和球形的器皿以及建筑物的计算需要用到
它。人们从后来发现的埃及古代数学文献“纸草”中得知，当时取π=3。16，
这是世界上最早的圆周率。现在看来，π的这个近似值误差较大，但当时能
算到这样的数值，已经很不容易了。
公元前250年左右，希腊数学家阿基米德利用圆的外切与内接96边形求
223 22
得圆周率π的值必定在 与 之间，即
71 7
10 1
3 71 7
这是第一次在科学中提供了误差的估计。
公元150年左右，希腊数学家托勒玫计算得到π=3。1416。
六世纪印度数学家阿利耶毗陀利用倍边公式a = 2R2 2n n
分别计算圆的外切与内接正 384边形的周长，得到π=3。1416。
355
1585年以后，荷兰的数学家安托尼兹得到π= 或π≈3。1415929 。
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我国是世界文明发达最早的国家之一，对π的研究也有过重要的贡献。
《周髀算经》早有记载，圆径一而周三，也就是π=3，叫做古率。
公历纪元初年，汉朝的度量衡极不统一，给商业贸易带来不便。为了解
决这个矛盾，朝廷命令数学家刘歆用金属铜制造了一种圆柱形的标准量器，
名叫“律嘉量斛”。现在我国故宫博物院里还保存着一具这样的量斛。这种
量斛是怎么计算出来的，没有找到记载，但根据斛上刻的说明，不难知道当
时取π的近似值是π=3。1547。
后汉张衡用 10 = 3。1623表示π的值，这比印度数学家婆罗摩及多定
圆周率为 10早500多年。
三世纪的刘徽和五世纪的祖冲之的工作更为突出，使我国在这方面的工
作不仅赶上了欧洲人，而且还领先了1000年。可是我国古代数学家研究π的
成果，直至19世纪初还未获得世界的确认。
傅路德指出：“在康熙时代，中国人完全依赖传教士南杯仁、汤若望等
人的方法，直到这个所谓 ‘赤水遗珍’后
来重新被发现为止。在18世纪中期，王元启、钱塘等人依旧采用 10为圆周率。”
1833年，纳林说：“在这个古老的民族中纯粹科学一直