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① 这一深刻结果是由斯坦福大学教授肯尼思·阿罗（Kenneth Arrow）得出的。他的著名的“不可能”定理指出，任何一个体系，若要将人们对三个或三个以上的选择的倾向会聚成为一项集体抉择，一定不能同时满足以下几个最基本的要求：（1）传递性，（2）全体一致性，（3）不相关选择的相互独立性，（4）非独裁性。传递性的要求是，假如人们在A和B之间选择A，在B和C之间选择C，那么人们在A和C之间必然选择A。全体一致性的要求是，假如人们在A和B之间一致倾向于A，那么人们就会选择A而非B。不相关选择之间的相互独立性的要求是，人们在A和B之间做的选择并不取决于是不是存在另外一个选项C。非独裁性的要求是，没有任何人可以每次都得逞，因而不存在独裁的力量。
这意味着问题的关键在于博弈的结构。比如，当美国国会需要在许多不相上下的法案之间作出抉择时，投票表决的次序就有可能对最后结果产生重大影响。现在，让我们更加仔细地考察投票过程，探讨什么时候一个投票者的投票会起关键作用。
1 ．打破平局
现在的总统选举已经强调了副总统选择的重要性。此人距离总统宝座只有一步之遥。不过，大多数总统候选人完全忽略了选票上的第二个名字，而大多数副总统看来并不喜欢自己的位置。无所事事地等上4年或8年时间，等待自己的老板驾鹤西去，这样的事情当然不是随便什么人都适合从事的职业。① 约翰·南斯·加纳（John Nance Garner）作为富兰克林·罗斯福（FDR）总统的首任副总统，曾经非常简洁地表达过这样的想法：“副总统职位实在乏善可陈。”
① 毫无疑问，他们可以对比英国查尔斯王子的更加糟糕的处境自我安慰一番。
美国宪法只有一个条款规定副总统的一切实际行动。第1章第3。4节提到：“美利坚合众国副总统担任参议院主席，却不得投票，除非参议员分为势均力敌的两派。”这种主持工作属于“礼节性质，无所事事的礼节性质”，而在大多数时候副总统都会将这一工作转交由参议院多数党领导人指定的资历较浅的参议员轮流负责。究竟是打破投票平局的责任重要呢，还是礼节的意味更重？
乍看上去，无论逻辑推理和现实证据都支持礼节的观点。副总统的一票其实并不重要。打成平局的投票很少出现。最有可能出现平局的情况是，每一个参议员二择其一的可能性相等，且参与投票的参议员数目为偶数。这么看来，每12次投票可能包含1次平局。② 当然，参议员的实际投票与随机发生的情况相距甚远。只有当两党大致处于均势，或者出现了一个特别容易引起分歧的议题而使部分党派发生分裂时，副总统这一票才会计算在内。
② 或者对立派别的参议员看对方有几人缺席，己方也安排几人缺席。
最积极打破投票平局的副总统是美国首任副总统约翰·亚当斯（John Adams）。他在8年任期里曾经29次打破平局。这并不出奇，因为他那时的参议院只有20名成员，与今天拥有100成员的参议院相比，出现平局的概率几乎高出3倍。实际上，在美国建国头200年间，总共只有222次机会让副总统投票。后来，理查德·尼克松（Richard Nixon）在艾森豪威尔手下当副总统的时候成为最积极打破投票平局的副总统，总共投过8次打破平局的票，与此同时，1953…1961年期间，参议院总共做出了1229个决议。打破平局的投票次数下降同时反映了一个事实：两党体系更加稳固，很少出现一个可能引起党派分歧的议题。
不过，这么一个关于副总统的一票只有礼节意义的描述却有误导的性质。副总统这一票的影响力比其使用频率更为重要。仔细衡量一下，就会发现副总统这一票的重要性大致相当于任何一名参议员的投票。
一个理由在于，副总统的投票一般只在决定最重要和最具决定意义的议题时起作用。比如，老乔治·布什（George Bush）作为副总统，曾经投票挽救了政府的化学武器计划（两次）和MX导弹计划。这表明我们应该更仔细地研究一张选票究竟何时才会起作用。
一张选票可能有两种效果：一是决定结果，二是成为影响胜利或失败比数的一种“声音”，却不能扭转结果。而在一个类似参议院这样的决策团体里，第一种效果更加重要。
为了说明副总统目前地位的重要性，我们设想副总统作为参议院主席得到了一张普通选票。什么时候这张选票会有更大的影响力呢？若是决定重要的议题，所有100名参议员都会设法参加。①假如这100名参议员形成了51对49或比数更加悬殊的两派，那么，无论副总统投什么票，结果都不会改变。结果取决于副总统这第101票的惟一机会在于，参议院分成了50对50的两派，就像现在这样，而只有副总统拥有惟一一张打破平局的选票。
① 对于一个参议员数目固定的参议院，出现50人投赞成票而另外50人投反对票的情况的最大概率等于（1/2）50 x （ 1/2）50 。用这个数目乘以从100人当中寻找50个支持者的方法总数，我们得到的结果大致等于1/12 。
我们承认，上述关于副总统的选票影响力的描述，没有将现实的各方面情况考虑在内。这些情况当中，有一些可以削弱副总统的影响力，有一些则相反。一个参议员的影响力大部分源于他们在各个委员会的工作，而副总统并未参与这些委员会。但是另一方面，副总统还有总统的否决权撑腰。
我们关于副总统的投票的讨论，引出了一个应用范围更广泛的重要启示：任何人的选票只在这一票形成或打破平局的时候可以影响结果。设想不同情况下你的选票究竟有多重要。你在一场总统选举中究竟有多重要？在你们城市的市长选举中呢？在自己参加的俱乐部秘书长选举中呢？
就像参议院那样，若是每一个投票者二择其一的概率相等，那么，出现其他选民形成平局而要由你这一票决定胜负的概率就会达到最大值。数学计算显示，出现平局的概率与投票者数目的平方根成反比：投票者增加100万倍，出现平局的概率就会减少1000倍。在参议院，共有100名投票者，我们知道，在最容易形成平局的情况下出现平局的概率约为1/12 。而在有1亿选民参加的总统选举中，这一概率就会降低到1/12000。由于我们采用的是选举人团制度，你决定你所在州的选举人的投票结果的概率大大增加。不过，人口很少大致平均分成两派的事实却引出了相反的结果，哪怕一个候选人或另一个候选人的微小优势都能戏剧性地降低出现平局的概率。因此，你不妨认为这个1/12000的数字是你可以在一场总统选举中发挥影响的概率的一个乐观估计。鉴于这些情况，你究竟还值不值得花时间投票呢？
要想弄清这个问题，我们先举一个具体例子。假定有一个候选人叫做“软心肠先生”，他许诺要将最低工资从每小时3。50 美元提高为5。00美元，而另一个候选人叫做“硬心肠先生”，则反对提高最低工资。假定你恰好有一份只付最低工资的工作，每年工作2000小时，你希望可以在保住这份工作的前提下提高工资，那么，“软心肠先生”能为你的钱包带来每年3000美元的增幅，“硬心肠先生”则做不到。4年时间这个数字就会变成12000美元。不过，你这一票可以带来这个结果的可能性只有1/12000，因此你从你这一票可能得到的收益只有1美元。假如你必须牺牲哪怕20分钟的有薪工作时间才能完成投票，那么你的投票并不值得。调查发现，大多数人认为他们闲暇时间的价值只有有薪工作时间的一半。因此，若是闲暇时间参加投票，超过40分钟就不值得了。
即便你不大可能改变投票结果，你仍然可以将你的声音加人到群众中去。不过，会不会有人听到呢？虽然1亿比0是一个一边倒的胜利，却没有一个明显的分界线，说明什么时候只要一张选票改变立场就会导致一边倒，从而取得胜利。还有，如果有足够多的人改变立场，一边倒的局势就会转为平局，继而转为失败，最后变成完全相反的一边倒。这个缺少分界线的理论可以追溯到希腊哲学家芝诺（Zeno） ，是他提出了这个有关一次取一颗沙砾而聚沙成塔的似是而非的理论。没有一颗沙砾可能将无塔变成有塔，这似乎不错，然而，足够的沙砾也可以将一个鼹鼠丘变成一座小山。一张选票好比一颗沙砾。很难想像单单这额外�