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理由的一部分，绝不是必不可少的。接受一个公理的理由，正和接受任何别的命题一样，
永远大部分是归纳性的，也就是说，许多几乎无可怀疑的命题可以从这个公理推演出来，
没有同样讲得通的办法使这些命题可以为真，如果这个公理为伪，而且无任何可能是伪
的东西能从它推演出来。如果这个公理表面看来是自明的，实际上那就是说，它几乎是
无可怀疑的；因为有些东西原被认为是自明的，可是后来知道是伪的。如果这个公理本
身几乎是无可怀疑的，那只增加了归纳证据，这种证据是从其结果几乎是无可怀疑这个
事实来的，它并不能提供迥然不同的新证据。绝对正确是永远达不到的，所以每个公理
和其所有结果总要有若干可疑成分。在形式逻辑里比多数科学里可疑成分为少，但是并
不是没有。这从这件事就可以看出来：悖论是来自一些原来不知道需要加以限定的前提。
就可化归性公理来说，对它有利的归纳证据是很强的，因为它所容许的推理和从它引出
来的结果都显然是有效的。但是，虽然这个公理竟然为伪象是很不可能，但是绝不是不
可能居然发现它是从另外某一个更基本、更明显的公理推演出来的。很可能，使用循环
论法原理（这种原理体现在前面讲过的层型中）是使用得过猛了，若是使用得不那么猛，
这个公理的必要性也许就可以避免了。可是，这类变动并不使根据前面说明过的原理所
断定的任何东西为伪，这类变动只不过为这些同一定理提供更容易得到的证据。因此，
好象没有什么根据害怕使用可化归性公理会使我们有错误”（《导言》，第Ⅱ章，第Ⅶ
节）。
在第二版里我们说：“显然应该改进的一点是可化归性公理。这个公理只有一个纯
乎是实用的理由作为根据：它导致所想望的结果，而无其他结果。但是它不是我们能满
意的那类公理。但是，关于这一个问题，还不能说可以得到一个满意的解决。雷昂·崔
斯泰克毅然把这个公理废除，而不采取任何代替的东西。从他的研究来看，很清楚，他
的这种办法使我们不得不牺牲大量的普通数学。还有一个办法（由于哲学上的理由为维
根斯坦所推荐），就是假定命题的函项永远是真伪函项，并且一个函项只能通过它的值
出现在一个命题中。
象这种看法是有难点的，但是这些难点也许不是不能克服的。
这种看法会有这样的结果，就是，函项的所有函项都是外延性的。它需要我们主张
“Ａ相信ｐ”不是ｐ的一个函项。在《逻辑哲学论》里（同上所引处，及第１９至２１
页）证明这如何是可能的。我们不准备断定这个学说确是正确的，但是在以下的篇幅中
把它的结果弄出来，看来是值得的。看来第一卷中的一切仍然是正确的（虽然常常需要
新的证明）；归纳基数和序数的学说继续存在；但是无限戴地钦德和良序级数的学说大
部分是垮台了，所以无理数和一般的实数再也不能得到适当的解决。而且坎特的２ｎ＞
ｎ这个证明也瓦解了，除非ｎ是有限的。也许还有一个什么别的不象可化归性公理那么
不满人意的公理会产生这些结果，但是我们还找不出这样的一个公理来（《导言》，第
ＸＩＶ页）。
《数学原理》第二版出版不久之后，F．Ｐ．莱穆塞在两篇很重要的文章里捡起化
归性公理这个问题来，一是《数学的基础》，发表于一九二五年，还有《数理逻辑》，
发表于一九二六年。不幸，莱穆塞的早亡使他的意见不能充分发展。但是他已有的成绩
是很重要的，值得认真考虑。他的主要论点是，必须使数学成为纯然是外延性的，《数
学原理》的麻烦是起自非法侵入了内包的观点。怀特海和我主张，一个类只能用一个命
题函项来规定，这甚至可以用于好象为枚举所规定的那些类。举例来说，由ａ、ｂ和ｃ
三个个体而成的这个类是被“ｘ＝ａ或ｘ＝ｂ或ｘ＝ｃ”这个命题函项所规定。维根斯
坦拒绝等同（莱穆塞对此加以承认）使这个方法成为不可能，但是，从另一方面来说，
莱穆塞认为，对于用枚举来给一个无限的类下定义，并没有逻辑上的异议。我们不能这
样来给一个无限的类下定义，因为我们总是要死的，但是我们不免于死是一件经验上的
事，这件经验上的事逻辑学家们是应该置之不顾的。他认为，根据这一点，乘法公理是
一个重言式。例如，再回头讲那个有无限双袜子的百万富翁。莱穆塞主张，没有必要定
一个规则从每双袜子里挑一只。他认为，就逻辑来说，一个无限数目的任意选择是和一
个有限数目的选择一样可以容许的。
他把一个类似的观点应用于改变命题函项这个概念。怀特海和我认为一个命题函项
是含有一个未定变项的一个表达法，一旦给这个变项指定一个值，就变成一个普通的句
子。例如“ｘ是有人性的”，一旦我们用一个专名来代替“ｘ”，就变成一个普通的句
子。这样来看命题函项们，它们是由内包而成（关于变项或变项们除外）。“是有人性
的”这些字形成许多普通句子的一部分，命题函项是造若干这类句子的一个方法。函项
的值因变项的不同的值而确定，变项由于语句内在的特性而有不同的值，莱穆塞关于命
题函项的想法颇为不同。
他把命题函项只看做是使命题和变项的值有相互关系的一种方法。除了以前下过定
义的那个断言函项的概念（为了某些目的，我们仍将需要这种断言函项），我们用外延
来给命题函项的新概念下定义（倒不如说是说明，因为在我们的系统中，必须认为它是
不能下定义的）。一个个体的这样一个函项是由命题和个体之间外延上任何一——多关
系引起的；也可以说是一种相互关系（不管能实用不能实用），这种相互关系把一个独
特的命题联合到每一个个体上，个体是函项的主目，命题是它的值。
如，A（苏格拉底）或许安女王已经死了，A（柏拉图）或许爱因斯坦是一个伟人；
AｘE只是Aｘ命题们和ｘF个体们的一个任意的联合（《数学的基础》，第５２页）。
把这个新解释用于“命题函项”这个概念，他就能废除了可化归性公理，也能用在
符号上同《数学原理》里的定义没有区别的东西来为“ｘ＝ｙ”下定义，虽然那个定义
现在有了一个新解释。这样他就成功地保留了《数学原理》的符号部分，几乎没有变动。
关于这个符号部分，他说，“形式上，它几乎没有变更；但是它的意义已经大大改变了。
这样保留形式，而改变解释，我是追随那一大派数理逻辑学家的，他们借着一系列惊人
的定义，从怀疑论者的手中拯救了数学，并且为命题提供了一个严格的论证。只有这样
我们才能使数学免遭柏劳尔和魏勒的布尔什维克式的威胁”《数学基础》，第５６页）。
关于莱穆塞对“命题函项”这个概念的新解释的有效性，我是很不容易拿定主意的。
我觉得，实体对命题的一个完全任意的相关是不能让人满意的。请以自“对ｘ所有的值
来说，fｘ为真”到“fａ”这个推理为例。按莱穆塞对“fｘ”这个概念的解释，
我们不知道“eａ”可以是什么。相反，在我们能够知道“fｘ”的意思是什么之前，
我们必须知道“fａ”和“fｂ”和“fｃ”等等，贯穿全宇宙。一般命题就失掉了
它们存在的理由，因为它们之所断定只能借枚举所有单独的实例来说明。不管你对于这
个非难的意见如何，莱穆塞的建议的确是很巧的，而且，即使不能完全解决所有的难点，
很可能路子是对的。莱穆塞自己是有怀疑的。他说，“虽然我对于怀特海和罗素的主张
试加改造我认为克服了很多难点，却不能认为这种改造是完全满意的”（《数理逻辑》，
第８１页）。
在另一件事上，我认为莱穆塞的研究大家必须承认确是对的。我已经列举了各种矛
盾，其中一类的例子就是那个人，他说“我说谎呢”，而另一类的例子是，是否有一个
最大基数的问题。莱穆塞证明，前一类是和一个字或语句之于其意义的关系有关，是把
二者弄混的结果。如果避免了这种混乱，这类的矛盾就没有了。莱穆塞主张，另一类矛
盾只能用类型学说来解决。在《数学原理》里，有两种不同�