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件东西；但是他坚决拒绝。他倒承认在那张纸上有三个点，因为那是一个有限的断定，
但他不承认关于世界总体能有任何陈说。这和他的神秘主义有关系，但是由于他拒绝承
认等同，这是不足怪的。
另有一方面和这同一类问题有关，我称之为“无限公理”。在一个只包含有限数目
的东西的世界中，那个数目就是一批东西最大可能有的数目。在这样的一个世界中，所
有高级数学就要垮台。世界上究竟有多少东西，在我看来，这纯粹是一个经验上的问题。
我不认为一个单纯的逻辑学家关于这个问题应该发表什么意见。因此，所有需要一个无
限数目东西的那些数学部分我都当成是假设的。所有这一切在维根斯坦看来都是极其荒
谬的。在他看来，你可以问“伦敦有多少人？”或“太阳里有多少分子？”但是推论世
界上至少有那个数目那么多的东西，在他看是没有意义的。据我想，他的学说的这一部
分肯定是错误的。
维根斯坦发表了两个原理。这两个原理如其为真，是非常重要的。即，外延性原理
和原子性原理。
外延性原理是说，关于一个ｐ命题的任何陈述的真或伪，完全有赖于ｐ的真或伪；
包含一个命题函项的任何陈述的真或伪，完全有赖于这个函项的外延，那就是说，有赖
于使这个命题函项之为真的价值范围。从表面来看，对这个论点显然可以有争议。请以
“Ａ相信ｐ”为例。显而易见，一个人可以相信一些真命题，而不相信别的命题，所以
“Ａ相信ｐ”之真伪并不完全有赖于ｐ的真或伪。关于这一个题目，维根斯坦有一段话，
很神秘。他说，“在一般的命题形式中，一些命题只以真伪运算的基础出现在一个命题
中。”
“乍一看来，一个命题出现在另一命题中似乎还有一个不同的方法”。
“特别是在心理学的一些命题形式中如‘Ａ认为，ｐ正是如此’，或‘Ａ认ｐ为真’，
等等。”
“在这里，从表面上看，好象ｐ这个命题对Ａ这个对象具有一种关系。”
“〔现代认识论里（罗素、穆尔等）的那些命题就被认为是如此的〕。”
“但是很清楚，‘Ａ相信ｐ’、‘Ａ认ｐ为真’、‘Ａ说ｐ’是属于‘ｐ说ｐ’的
形式；这里我们并没有事实和对象的对等关系，但是有事实之间由于他们的对象的对等
关系而有的一种对等关系。”
“这表明，并没有象当代浅薄的心理学里那种想法的那种东西，如灵魂——主体等”
（《逻辑哲学论》，５．５４以下）。
维根斯坦的论点是“Ａ相信ｐ”并不是ｐ的一个函项，而是Ａ用以表示ｐ命题或身
体状况的那些字的函项，这种身体状况（不管是什么）构成其相信。他这个人和往常一
样，是独断的，他吐露他的意见象沙皇下谕旨一样。但是草野小民对这种办法是难以满
意的。我在《对意义与真理的探讨》中（第２６７页以下）对这个问题曾详加检查，但
是对得到的结论是有些拿不定的。
原子性原理维根斯坦是用下面的措辞来陈述的：“关于复合的每个陈述可以分析成
关于它们的组成部分的一个陈述，并且可以分析成完全描述那些复合的一些命题”（
《逻辑哲学论》，２．０２０１）。这个原理可以说是相信分析的具体表现。维根斯坦
写《逻辑哲学论》的时候，他相信（据我的了解，他后来终归不相信）世界是由许多具
有各种性质和关系的简单东西构成的。简单东西的简单性质和简单关系是“原子事实”，
关于它们的断定是“原子命题”。这个原理的要点是，如果你知道所有的原子事实，并
且也知道它们是所有的原子事实，再也没有别的，你就能只用逻辑来推论所有别的真命
题，这个原理引起的重要难点也是和“Ａ相信ｐ”这样一些命题有关，因为，这里ｐ是
复杂的，算·是一个复合。这种命题的特点是，它们包含两个动词，一个是主要的，另
一个是附属的。
让我们举一个很简单的例子，比如说：“Ａ相信Ｂ是热的。”这里“相信”是主要
动词，“是”是附属动词。原子原理需要我们设法把这事实表示出来，而不提出“Ｂ是
热的”这个附属的复合来。这个原理我也在《对意义与真理的探讨》中（第２６２页以
下）详细讨论过。
关于这两个原理，我所得到的结论是：“（１）如果严格地加以解释，分析象‘Ａ
相信ｐ’这样的一些句子，外延原理不能证明是伪的；（２）同是这个分析不能证明原
子原理是伪的，但是证明其为真，是不够的”《对意义与真理的探讨》（第２７３页）。
对于维根斯坦这两个原理更通常的批评是，没有理由相信简单东西和原子事实。据
我的了解，他后来也终归这样想。
但是讨论这个问题就使我们离开《逻辑哲学论》太远了。在后边的一章里，我还要
讲这个问题。
维根斯坦主张，逻辑完全是由重言式所构成。关于这一点，我想他是对的，虽然在
我读到他关于这一问题所说的话之前我并不认为如此。还有和这个有关系的一点是非常
重要的，就是，所有原子命题是各自独立的。从前以为，一个事实在逻辑上讲可以有赖
于另一个事实。只有如果其中的一个事实其实是两个事实放到一起的时候，才是如此。
在逻辑上讲，从“Ａ和Ｂ是人”推出的结果是，Ａ是一个人。但是那是因为“Ａ和Ｂ是
人”其实是两个命题放到一起的。我们所讨论的这个原理的结果是，在实际世界中为真
的那些选择出来的原子事实可以是逻辑所能证明的原子事实的全体，但是，显而易见，
关于这一点，原子性原理是必不可少的，而且，如其不为真，我们就不能确信最简单、
可能得到的事实有时在逻辑上也许是不相关的。
在《数学原理》的第二版中（１９２５），我考虑了维根斯坦的一些学说。我在一
篇新的《导言》里采用了外延性原理，并且在《附录》里考虑了对这个原理显然可非议
之处，就全体来说，我断定这些非议是无效的。在这个新版中，我的主要目的是减少
《可化归性公理》的使用。如果我们一方面要避免矛盾，另一方面保存平常认为无可争
议的所有数学，这个公理（等一会儿我就要加以说明）好象是必需的。但是它是一个可
议的公理，因为其为真是可以怀疑的，并且更重要的是因为，如其为真，其为真是属于
经验的，不是属于逻辑的。
怀特海和我认识到，这个公理是我们的系统的一个弱点，但是我至少认为它有类乎
平行公理，这个平行公理一向被认为是欧几理德几何学的一个弱点。我认为迟早会找出
一种方法把这个公理废除掉，同时把难点集中在一点上是一件好事。在第二版的《数学
原理》里，在许多情形中（这个公理原先看来好象是少不了的），特别是在所有数学归
纳法的使用中，我成功地把这个公理废除了。
我现在必须说明这个公理是说什么，以及为什么它好象是不可缺的。我在前面已经
说明过属于一些性质总体的性质和不属于性质总体的性质之间的差异。属于性质总体的
性质往往引起麻烦。举例来说，假定你提出来这样的一个定义：
“一个典型的英国人就是一个具有多数英国人所具有的性质的人”。你就会很容易
认识到，多数英国人并不具有多数英国人所具有的·一·切性质。所以，按照你的定义
来说，一个典型的英国人就是不典型。麻烦之发生是因为，“典型”这个字的界说是指
一切性质。然后其本身被当做是一种性质。因此似乎是，如果正当来说“一切性质”，
你的意思不能是真指“一切性质”，而只是指“不属于性质总体的一切性质”。正象我
在前面说明的那样，我们把这样的性质说成是“断言的”。可化归性公理是说，一个不
是断言的性质永远在形式上等于某个断言的性质。（如果两个性质属于同一组东西，或
者说得更确切一些，如果它们的真伪价值对每个主目来说都是一样，这两个性质在形式
上就是相等的。）
在第一版的《数学原理》中我们把接受这个公理的理由说明如下：“可化归性原理
是自明的，这是一个难以让人支持的命题。但是，事实上，自明不过是接受一个公理的
理由的一部分，绝不是必不可少的。接受一个公理的理