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这种算法是“加法式的减法”，而且要求低年级老师不能或不应当允许孩子们如此去做减法。他说他们必须用“除去”的办法思考。
同时，孩子们在竭力记忆着所有这些互不相关的、没意义的算式，他们想依此来平息他们自身以及他们老师的焦躁，这就如同是在学一支不知所云的外语歌。这么过了大概一年，孩子们成了鹦鹉学舌地背算式的好手，但绝大多数终其一生也并没有真正弄懂它们——他们已经加入了“不懂数学”的人的庞大队伍。
而所有这些都是不应当发生的。
“2＋3=5”、“3＋2=5”、“5－2=3”，以及“5－3=2”，并不是四个没有关联的算式，而是以四种不同的方式去看待同一个事实。另外，算式并不是算术公式，不是那些需要死记硬背的无意义的音节。它是自然事实，孩子们可以自己发现并反复地向自己证明，想做多少次都可以。
这个事实就是：
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
如果你面前有一组物体，比如硬币或是石子，看上去像是左边的一组，你可以把它分成像右边那样的一组。或者（这就是双向箭头的功能），如果你有两组看上去像右边那样的物体，你也可以把它们摆成左边的样子。
这不是算术公式，而是自然的事实。并非只有当人们发明了算术它才成为公理。它和人类没有关系。它是通行宇宙的真理。人不需要通过学习算术才能发现或验证它。一个玩积木的婴儿或玩木棍的小狗也能做这样的操作，尽管婴儿和小狗或许谁都没注意到自己干了什么，对他们来说，＊＊＊ ＊＊ 和＊＊＊＊＊的区别就是没有区别。算术起源于人们开始注意并思考着包括这个在内的自然存在的数字事实。
在人类历史早期，人们发明了一些特殊的名称，用来研究与数目有关的事件的性质。比如，5只小猫，5只鞋，5个苹果，这几组事件的共性是每组具有相同的数量，因此，每一只小猫会有一只鞋和一个苹果，没有剩余。数字5的性质是它可以被分解成2和3。5的另一个性质是它还能被分解成4和1。5还有一个性质是，它只能有这样两种分解方法。如果是7，我们可以把7分解成6和1、5和2，以及4和3。换成10，可以得到9和1、8和2、7和3、6和4、以及5和5。每一个数字可以用不同的方式分解成两个两个的小数值，数字越大，可以分解的方式越多。（这个分解的方式有简单的规律可循，孩子们，包括大人，都会乐于自己去发现出来。）
一旦我们弄明白＊＊＊＊＊ = ＊＊＊＊＊ 是自然事实，就会懂得所谓“3＋2=5”、“2＋3=5”、“5－2=3”，以及“5－3=2”，不管是用符号还是文字表现（比如“加”、“加上”，或者“减去”），它们都不过是原始事实的四种方式而已。
这样有什么好处呢？好处在于不必去死记许许多多的“公式”了，只要记住有四种方式，这很合乎道理。一旦孩子们学会了把＊＊＊＊＊ =＊＊＊＊＊ 转换成“3＋2=5”或其他形式，他们就会同样地去看待其他数字，找出它们可以分解成为两个一组的形式，并把它们全部写下来。
所以，孩子可以用＊＊＊＊＊＊＊＊，试着找出把它分解成＊＊＊＊＊＊ 和＊＊的方式，写下来“6＋2=8”、“2＋6=8”、“8－2=6”，以及“8－6=2”，然后再做7和1、5和3、4和4。简言之，所有现在孩子们被灌输和强记的算式，其实都可以由他们自己去发现并记录下来。而后一种做法的好处是，发现比起记忆，我们的思维会更主动，更不用说发现的过程更有意思了。另一个好处是，原本看上去是那么费解、充满偶然的巧合而又自相矛盾的算术（以及作为它的延伸体的数学），现在变得相当的合理了。
当我向老师们讲述这种方法时，一个老师说他们学校就是这么教的。他的意思是在他们用的课本里，比如讲到“3＋4=7”，会配有4只小鸡、3只小鸡、7只小鸡（或是其他什么东西）的插图。这完全错解了我的本意，我在此重申，＊＊＊＊＊ =＊＊＊＊＊ 不是算式“2＋3=5”的图解形式。＊＊＊＊＊ =＊＊＊＊＊ 才是事实，而“2＋3=5”只是用数字和符号来表现的一种形式。
第二章 在家里学数学自制加法器
当孩子们第一次学习加减法的时候，不需要计算器等奢侈的东西来加快速度。我们可以教给或是展示给他们怎么去制作一个简单的加法器和减法器。只用两把尺子，甚至是画上尺格的两张纸就可以了。
假设我们现在有两把尺子，或是画上尺格的两张纸：
1 2 3 4 5
这里我们演示一下“4＋3”。拿一把尺子的左边抵着另一把尺子的4，就像这样：
1 2 3
1 2 3 4 5 6 7
然后看到上面尺子的3对着下面的7，我们便会看到“4＋3=7”。即使不是所有的孩子都能一上来就发现这一点，但通过尺子还是很清楚就能看到用4个格子加上3个格子，就会有7个格子那么长。如果尺子足够长的话，我们可以用这个办法来做所有的两两相加。
孩子们用这个便宜的加法器很快就能发现用机械记忆的办法根本发现不了的东西。比方说如上图所示，当上面尺子的左端抵着下面尺子上的4时，便会得出：
4＋1=5
4＋2=6
4＋3=7
4＋4=8，等等。
换句话说，每次和4相加的数字增加1，结果便会增加1。这在我们会的人看来是非常简单的，但对于许多上学的孩子，即使是已经“会加法算式”的孩子来说可没那么容易。不少这样的孩子或许熟知“6＋6=12”，但再算“6＋7”却很费劲。我亲眼看见很多孩子都会算错。
当孩子们首次发现，加法项每增加1，结果就会增加1，他们会非常兴奋，而且这种兴奋程度并不因为很多人已经知道这个事实而稍减。随后孩子或许发现当加法项每增加2，结果便会增加2，他就更加兴奋。同理，再去发现增加3、4时的情形，不一而足。
在代数中，可以把上述发现记录如下：
x ＋ （y ＋ a） = （x ＋ y） ＋ a
但我不会给小孩子讲这个，除非他已经熟知x和y可以代表任意数。顺便说一下，关于这一点，六岁的孩子会比大部分九年级学生，也就是上了八年数学课的学生理解得快。
如果我们用码尺、米尺，或其他能写下40～50个单位的卡片做教具，孩子们会发现更多事情，比如像这样的序列：
4＋3=7
14＋3=17
24＋3=27
34＋3=37，等等。
我再一次发现很多学校里的孩子把“4＋3”、“14＋3”、“24＋3”，以及“34＋3”当成完全不同的东西。他们知道“4＋3=7”，然后会说“24＋3=29”，或其他更荒诞的说法。造成这种结果的原因是，老师把算术教成了一堆互不相关的需要记忆的算式。孩子们无法凭记忆，尤其是当对自己的记忆没有把握的时候，弄懂数字间的逻辑或顺序。
第二章 在家里学数学把抽象概念形象化
我经常听到这样一种说法，数字是抽象的，所以只能用抽象的方法教。这么说的人既不懂数字，也不懂抽象概念或抽象性。当然数字是抽象的，但和任何其他的抽象概念一样，它们是某些事物的抽象概念。人类发明数字是为了帮助自己记忆和记录现实世界的某些性质，比如动物的数目、每年泛滥一次的土地的疆界、对天上星星的观察、月亮、潮汐，等等。这些数字的性质并不是来源于人类的想像，而是来自于它们自身业已存在的事实。一张美国地图是抽象的，但它的形状并不是地图绘制者画出来的，而是它原本的样子。当然，地图绘制者可以也必须做一些选择，就像数字的发明者当初发明数字时一样。他们可以决定在地图上表现什么，是地形、气候、气温、降雨量、道路、航线，还是国家历史上的发展情况。决定好了这些，他们还可以决定颜色，比如说，路易斯安那用蓝色，或红色，或黄色——哪种颜色顺眼就用哪种。一旦决定了地图要表现的内容，以及表现方式（色块、线条，或是阴影），剩下的就是凭事实本身来决定地图的样子了。
同理也适用于数字。彻底地把数字以及研究它们的科学同数字所代表的事实割裂开来