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出圆地的面积时，他们就减去直径的九分之一，并取剩下的正方形部分。例如，假若直
径等于 9杆（1杆=5 1/2码），那么，他们发现，这块圆形地包括着64个正方形的杆。经
过核对，与实际是非常相近的。
十分明显，这是几何学的开端，并且可以相信下面的证据：像泰勒斯和毕达哥拉斯
的希腊哲学传到了埃及，使得这个国家的牧师——几何学家获得了智慧。但是，这些埃
及的数学家，作为牧师阶级的成员，却开始把自己的这些几何规则当作神圣的，因而也
是不可改进的；这样，使他们那些与此无关的希腊学生们，在寻求更完善的方法上得以
大步前进。于是，希腊的几何学就取得了由欧基里得的伟大著作传到现在的那些成绩。
欧基里得采用了他的前辈所熟知的定理，同时补充了新的内容，并且全都合乎逻辑地加
以证明。
但是，可以设想，初等几何学实际上并不是借助那些像欧基里德所采用的定义、定
理和推论方明出来的。它的萌芽事实上发生于土地丈量员、石匠、木匠和裁缝的日常工
作之中。这一点，可以从古代印度祭坛建造重的几何定理中看出来。这些定理告诉石匠，
不必在几条线构成的平面上绘图，而是在有一定距离的两端立起竿子，竿子之间拉直绳
子。如果我们在两个小木柱之间拉紧一条线，那么，我们就会看到，拉在的线比别的线
短。这就能使我们猜想出；两点之间以直线为最短的定义是怎样得出来的。同样，每一
个木匠都知道直角的性质，并且惯于使用平行线或两条彼此距离相等的线。对于裁缝来
说，直角则是另一种手段。假定说，他剪一块重叠的布，以便打开做接角布或图89上的
BAC楔形布块，他就应当按直角 ADB来剪，因为不这样，剪下的布块展开之后就会或者
凹进，或者凸出，就像在图中所看到的那样。若照直剪，BDC展开就成一条直线，他不能
不看到，边AB和AC及角ABC和ACB必定彼此相等，因为在剪裁时，它们是边对边、角对角
地重叠在一起的。因此，借助这种所谓裁缝几何学，他就得出了欧基里德定理，这种定
理在现代就是以“驴桥”的名称而著名的。
这些很容易理解的几何图形的性质，很早就在实践上为大家所熟知了。但同样正确
的是，古代长期并不了解现代属于基本训练的那些问题。例如，我们只是谈到了，埃及
的测定地界者不能为测量三角地确立精确的定则。但是，如果他们想从一张草纸上剪下
一个三角形图，像我们在图 89．3上对三角形 ABC所能做的那样，如图上所表明的把它
放下，那么，他们就会发现，它是放在长方形EFHG内，因而，它的面积就是底与高之半
的乘积。他们也能够看到，这不是什么偶然性，而是一种属于所有三角形的本性，而且，
正如同时所表现出的，A、B和C三个角一同全放在D上，就形成了两个直角。显然，较早
的埃及几何学家，连三角形的这一特性也不知道，而希腊的几何学家们，却早在欧基里
德时代之前就借助某种方法熟悉了它们。
显然，叙述数学发明之起源的古代历史学家们，并不总是明白他们所说的。例如，
他们谈到泰勒斯时说，他第一个把直角三角形内接于圆，在这之后，他就用牛上供了。
但是，这样卓越的数学家未必能知道聪明的木匠有时知道的事情；木匠需要时能把长方
桌对称地改成圆桌，这就包含着内接于半圆中的直角三角形的问题，如上图所见。或许，
事实上这故事的意思是泰勒斯第一次对这个原理做出了几何学的证明。同样地也谈到了
毕达格拉斯，另一种说法，说他发现了直角三角形之弦的平方等于其余两边平方之和以
后，就用百牛牺牲上供。这个故事对于不许以任何动物上供的哲学家方面来说，似乎不
太可信。至于发明者，他可能是在实践中凿平方石以铺路或制做屋瓦的著名瓦石匠。例
如，当底有三块瓦长，而垂直线有四块瓦长时，斜边就将有五块瓦拉；在它上面构成一
个长方形所需的瓦数，就等于用它在其余两个边上共同组成一个长方形所需要的瓦数。
毕达格拉斯采用了类似的实际规则，或者他通过研究算术的平方数得出了这个原理，在
任何情况下他都能数第一，是他第一个把一切三角学和解析几何学都以之为凭借的直角
三角形的性质确定为普遍规律。
在古代数学史中众所周知的仅仅是，这门科学的奠基者是测定地界的埃及人及巴比
伦人，他们在算术中的技术，可以从他们所编的并迄今仍保留下来的平方数和立方数表
中得出结论。后来，起初曾是这些最古老学校学生的希腊哲学，很快地就超过了自己的
先生，并把数学——正像这一名称本身所意味的那样——提到了教人的头脑严密而准确
地思维的“指南”的高度。
初级阶段的数学，主要是由算术和几何组成的，因而就与某些数和量有关系。但是，
在古代，埃及人和希腊人就已经在研究处理没有确定号数大小的数的方法，而印度人的
数学在同一方向上走得更远，已经采用了现在称作代数的方法。
应当指出，采用字母作为代数的符号，并不是借助侥幸的悟性一下子发明出来的，
而是由较早的并且较拙笨的方法发展而来的。从一本梵文书中得知，在印度，起初标志
未知数是借助“某数”这个术语，或者是借助花的名称：“黑花”，“蓝花”，“黄花”。
后来，为了简短一点就开始采用这些词的最初的一些音节。例如，假若我们需要表示出
“未知数字的二倍平方”，我们原来称为“某数的二倍平方”，后来就缩简为某2方，这
就跟印度人在解决例如科尔布鲁克的《印度人的代数》中所提出的问题时的作法、极为
相似。那个问题是：“一窝蜜蜂数的一半的平方根，飞到了茉莉丛中，也就是全窝的十
分之八；一只雌蜂跟一只留下的向荷花嗡嗡飞去的雄蜂窃窃私语，雄蜂被荷花的夜香引
诱住，便停在荷花里面。亲爱的女士，请问蜜蜂的数目是多少？”这种印度人的方程式
是由那种因缺乏较晚在欧洲发明的方便符号= 、＋、… 而不合体的方法来解决的，但是，
负数被标出了，而这个方程式却按通常的平方方程的方法解决了。阿拉伯的数学学会了
这种惊人的印度人的方法。通过阿拉伯数学，这种方法在中世纪闻名于欧洲。赋予这种
方法的阿拉伯名称是“al…jabr、wa l－mukabalah”，也就是“联合”和“对立”，意
思是现在方程式一部分的数向另一部分进行转移。由此也就产生了现在的代数语言。
高等数学在欧洲完全确立下来，大概不早于十七世纪。当时，笛卡尔把代数系统地
应用到了几何学中，而伽利略关于球体轨道或抛石轨道的研究，则引发了导致牛顿的流
数和莱布尼茨的微分学的思想。数学借助于他们提高了它在现代。所获得的那种地位和
意义。数学的代表符号没有丧失其最初的缩写字形的痕迹，例如，n迄今为止仍然用来替
代number（数目），而r替代radius（射线），同时像√，代表速写的r，起radix（根）
的作用，而S——古代的S——在求积分时用来替代sum（和）。
机械学和物理学在现代构成了我们认识宇宙的基础。但是在古代野蛮时期，人们对
于它们只有最粗浅的了解。蒙昧人如此了解投掷武器运用的方法，因而能瞄准并命中目
标。当他们把自己的斧头多半是实在长柄而不是短柄上的时候，他们也同样明白如何运
用杠杆原理。但是，他们未必能把这些实践中的了解，提高到原则和规律的程度。即使
是东方的古代文明民族，就大家所知，也不能对机械学的规律进行科学研究，虽然他们
会借助杠杆抬起石头垂直地放在墙上，借助垂线来衡量黄金的分量。这一点还被一种设
想所证实。如果希腊人知道这些规律，那么，他们大概是从东方民族学来的。同时很明
显，这些科学是从希腊的哲学家中诞生出来的。他们开始讨论亚里土多德时代的机械学
问题，但是，他们讨论这些问题远不总是正确的。例如，他们认为，物体受地心吸引，
它的重量越大，它落下得就越快。科学机械学的奠基者是阿基米德。他从杆秤的实验中
研究出了杠杆的规律，并且由此引出了下面这种情况，即物体中心周围的各部分是平衡
的，而这个