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然而不幸，毕达哥拉斯的定理立刻引到了不可公约数（无理数）的发现，这似乎否定
了他的全部哲学。在一个等边直角三角形里，弦的平方等于每一边平方的二倍。让我们
假设每边长一时，那么弦应该有多么长呢？让我们假设它的长度是m/n时。那么m2/n2=2。
如果m和n有一个公约数，我们可以把它消去，于是m和n必有一个是奇数。现在m2＝2n2，
所以m是偶数，所以m也是偶数；因此n就是奇数。假设m＝2p。那末4p2=2n2，因此n2=2p
2，而因此n便是偶数，与假设相反。所以就没有m/n的分数可以约尽弦。以上的证明，实
质上就是欧几里德第十编中的证明①。
这种论证就证明了无论我们采取什么样的长度单位，总会有些长度对于那个单位不
能具有确切的数目关系；也就是说，不能有两个整数m、n，从而使问题中的m倍的长度等
于n倍的单位。这就使得希腊的数学家们坚信，几何学的成立必定是独立的而与算学无关。
柏拉图对话录中有几节可以证明，在他那时候已经有人独立地处理几何学了；几何学完
成于欧几里德。欧几里德在第二编中从几何上证明了许多我们会自然而然用代数来证明
的东西，例如（a＋b）2=a2＋2ab＋b2。正是因为有不可公约数的困难，他才认为这种办法是
必要的。他在第五编、第六编中论比例时，情形也是如此。整个体系在逻辑上是醒目的，
并且已经预示着十九世纪数学家们的严谨了。只要关于不可公约数还没有恰当的算学理
论存在时，则欧几里德的方法便是几何学中最好的可能方法。当笛卡儿介绍了坐标几何
学（解析几何）从而再度确定了算学至高无上的地位时，他曾设想不可公约数的问题有
解决的可能性，虽然在他那时候还不曾发现这种解法。
几何学对于哲学与科学方法的影响一直是深远的。希腊人所建立的几何学是从自明
的、或者被认为是自明的公理出发，根据演绎的推理前进，而达到那些远不是自明的定
理。公理和定理被认为对于实际空间是真确的，而实际空间又是经验中所有的东西。这
样，首先注意到自明的东西然后再运用演绎法，就好像是可能发现实际世界中一切事物
了。这种观点影响了柏拉图和康德以及他们两人之间的大部分的哲学家。“独立宣言”
①说：“我们认为这些真理是自明的”，其本身便脱胎于欧几里德。十八世纪天赋人权
的学说，就是一种在政治方面追求欧几里德式的公理②。牛顿的《原理》一书，尽管它
的材料公认是经验的，但是它的形式却完全是被欧几里德所支配着的。严格的经院形式
的神学，其体裁也出于同一个来源。个人的宗教得自天人感通，神学则得自数学；而这
两者都可以在毕达哥拉斯的身上找到。
我相信，数学是我们信仰永恒的与严格的真理的主要根源，也是信仰有一个超感的
可知的世界的主要根源。几何学讨论严格的圆，但是没有一个可感觉的对象是严格地圆
形的；无论我们多么小心谨慎地使用我们的圆规，总会有某些不完备和不规则的。这就
提示了一种观点，即一切严格的推理只能应用于与可感觉的对象相对立的理想对象；很
自然地可以再进一步论证说，思想要比感官更高贵而思想的对象要比感官知觉的对象更
真实。神秘主义关于时间与永恒的关系的学说，也是被纯粹数学所巩固起来的；因为数
学的对象，例如数，如其是真实的话，必然是永恒的而不在时间之内。这种永恒的对象
就可以被想象成为上帝的思想。因此，柏拉图的学说是：上帝是一位几何学家；而詹姆
士·琴斯爵士也相信上帝嗜好算学。与启示的宗教相对立的理性主义的宗教，自从毕达
哥拉斯之后，尤其是从柏拉图之后，一直是完全被数学和数学方法所支配着的。
数学与神学的结合开始于毕达哥拉斯，它代表了希腊的、中世纪的以及直迄康德为
止的近代的宗教哲学的特征。毕达哥拉斯以前的奥尔弗斯教义类似于亚洲的神秘教。但
是在柏拉图、圣奥古斯丁、托马斯·阿奎那、笛卡尔、斯宾诺莎和康德的身上都有着一
种宗教与推理的密切交织，一种道德的追求与对于不具时间性的事物之逻辑的崇拜的密
切交织；这是从毕达哥拉斯而来的，并使得欧洲的理智化了的神学与亚洲的更为直接了
当的神秘主义区别开来。只是到了最近的时期，人们才可能明确地说出毕达哥拉斯错在
哪里。我不知道还有什么别人对于思想界有过象他那么大的影响。我所以这样说，是因
为所谓柏拉图主义的东西倘若加以分析，就可以发现在本质上不过是毕达哥拉斯主义罢
了。有一个只能显示于理智而不能显示于感官的永恒世界，全部的这一观念都是从毕达
哥拉斯那里得来的。如果不是他，基督徒便不会认为基督就是道；如果不是他，神学家
就不会追求上帝存在与灵魂不朽的逻辑证。明。。但是在他的身上，这一切还都不显著。
下面就要谈到这一切是怎样变得显著的。
①西西里的希腊城市是受着迦太基人的威胁的，但是在意大利，人们并不感到这种
威胁的切迫。
②亚里士多德说，毕达哥拉斯“最初从事数学和算学，后来一度不惜从事非里赛底
斯所奉行的魔术。”
①“丑：毕达哥拉斯对于野鸟有什么意见？
马伏里奥：他说我们祖母的灵魂也许曾在鸟儿的身体里寄住过。
丑：你对他的意见觉得怎样？
马：我认为灵魂是高贵的，绝对不赞成他的说法。
丑：再见，你在黑暗里住下去吧，等到你赞成了毕达哥拉斯的说法之后，我才可以
承认你的头脑健全”。（第十二夜）
（朱生豪译：《莎士比亚戏剧集》卷二，第218页，作家出版社，1954）
①引自伯奈特《早期希腊哲学》。
①康福德：前引书，第201页。
①《早期希腊哲学》，第108页。
①但是这并非欧几里德所发现的，见希斯：《希腊的数学》。以上的证明或许柏拉
图是知道的。
①这里指的是美国的《独立宣言》——中译本编者
②佛兰克林用“自明的”代替了杰弗逊的“神圣的与不可否认的”。
第四章 赫拉克利特
目前对待希腊人通常有两种相反的态度。一种是自文艺复兴以来直到最近时期事实
上是普遍的态度，即带着几乎是迷信的崇拜来观察希腊人，把他们看成是一切最美好的
事物的创造者，具有超人的天才，不是近代人所能期望与之匹敌的。另一种态度是被科
学的胜利与对于进步的一种乐观主义的信仰所激发的，即把古人的权威认为是一种重担，
并且认为现在最好是把希腊人对于思想的贡献大部分都忘掉。我自己不能采纳任何一种
这样极端的看法；我应该说，这两种都是部分正确的而又部分错误的。在谈到任何细节
以前，我先要试图说明我们从研究希腊的思想中仍然可以得到什么样的智慧。
关于世界的性质与构造，可能有各种各样的假说。形而上学的进展（就曾经存在过
的而言）就在于所有这些假说的逐步精炼化，它们涵意的发展以及对于每种假说的重新
改造，以其能对付那些相信敌对假说的人们所发动的反驳。学习着按照每一种体系来理
解宇宙乃是想象力的一种愉悦，并且是教条主义的一付解毒剂。此外，纵使没有一种假
说可以完全证实，但是如果发现在使每种假说都能自圆其说并且能符合已知事实时所能
包含的东西，这里面也就有着一种真正的知识了。一切支配着近代哲学的各种假说，差
不多最初都是希腊人想到的；我们对于希腊人在抽象事物方面的想象创造力，几乎是无
法称赞过分的。关于希腊人我所要谈的主要地就是从这种观点出发；我认为他们创造了
种种具有独立生命与发展的理论，这些理论虽然最初多少是幼稚的，然