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下面，根据谬误归约论，用现代论证法论证2的平方根的无理性。论证中只要用到简单的代数法，不必要用到毕达哥拉斯学派发明的几何论证法。论证的风格和思维的方式至少和结论一样引人入胜。
设边长为1个单位（该单位无论是厘米、英寸还是光年都无所谓）的正方形，对角线BC分正方形为两个直角三角形。根据毕达哥拉斯学说，在这样的直角三角形中，12＋12=x2。因为12＋12＝1＋1=2，由此推及x＝2的平方根。假定2的平方根（21/2）是一个有理数，21/2=p/q，式中p和q均为整数。p和q可以代表任何整数，也可以无穷大，当然也可以认为p和q没有公因子。设p=14，q=10，得21/2=14/10，分子分母都除以2，得p=7，q=5，而不再是p=14，q=10。在任何计算中，分子分母的公因子都要先除掉。p和q可以选用任何数。把 21/2=p/q两边平方，则得2=（p2）/（q2）。两边两乘以q2，则得：
p2=2q2 （式1）
据式1，p2一定是乘以2的某个数，故p2是一个偶数。但是，奇数的平方一定是奇数（如12=1，32=9，52=25，72=49）。所以，p本身一定是偶数，可以写作p=2s，式中s为一个整数。把p代入式1，得：
p2=（2s）2=4s2=2q2
最后等式的两边都除以2，则得：
q2=2s2
因此，q2也是一个偶数。证明过程如上，则q本身也是一个偶数。要是p和q都是偶数，都可以除以2，那么这两个数都没有归约到最小公因子，这和论证前的假设是矛盾的。这里谬误得到归约。但是，哪一个假设是谬误的呢？论证过程中并没有规定公因子不可归约，也没有规定14/10可以归约，7/5不可以归约。所以，原始的假设一定是谬误的。p和q不可能是偶数：2的平方根是无理数。事实上21/2=1。4142135……
这个结论真是出人意外！证明过程真是奇妙！但是，毕达哥拉斯学派却感到难受，千方百计要掩盖住这个伟大的发现。
附录2 毕达哥拉斯学派的五面体
附录2 毕达哥拉斯学派的五面体
正多边形（多边形的英语在希腊语中是多角体的意思）是一个具有n个等边的二维物体。因此，n＝3时，是一个等边三角形；n＝4时，是一个正方形；n＝5时，是一个五边形如此等等。多面体（希腊语的含义是多边的）是一个三维的物体，组成多面体的各面都是多边形。例如，立方体由六个正方形组成。简单的多面体，或者说正多面体，是没有空洞的。毕达哥拉斯学派和开普勒研究的本质问题是世界上只能有五面体，而且是正五面体。最容易的证明方法是用毕达哥拉斯的后辈笛卡尔和欧拉发现的关系式。该关系式把正多面体的面的个数F，棱的个数E和顶角的个量V联系起来：
V－E＋F＝2 （式1）
所以，立方体有六个面（F＝6）和8个项角（V＝8）；代入式1，得 8－E＋6＝2，即V14…E=2，E=12。式1计算结果立方体有12个边，立方体果然有12个棱。本书文献目录中列出的Courant and Robbins的著作中用简单几何方法证明了式1。根据式1可以证明世界上只能有正五面体。
多面体的任何一个棱均为相邻的两个多边形的边所共有。再以立方体为例，立方体的任何一个棱都是两个正方形的共边界。如果把一个多面体的所有面的所有边（nF）都计算一遍，则每一个棱都要两次计算。因此：
nF＝2E （式2）
以r代表一个顶角的共有边的个数，则在立方体中，r＝3。同理，每一个边都具有两个顶角。如果把所有的顶角（rV）都计算一遍，则每一个顶角也都要计算两次。因此：
rV＝2E（式3）
把式2和式3代入式1，则得：
2E/r…E＋2E/n=2
两边都除以2E，则得：
1/n＋1/r=1/2＋1/E（式4）
已知n等于3或大于3，因为最简单的多边形是具有三条边的三角形。已知r等于3或大于3，因为至少要三个面夹一个顶角才能构成最简单的多面体。若n和r同时都大于3，则式4的式边得数则要小于2/3。这样，只要E是正数，式4则不成立。于是，再根据谬误归约论，则只能出现两种情况，即或者n＝3，r等于或大于3，或者r＝3，n等于或大于3。
若n＝3，式4则变化为（1/3）＋（1/r）=（1/2）＋（1/E），或下式：
1/r=1/E＋1/6（式5）
据此，r只能等于3、4或5。如果r（原文为E。根据上下文，应为r。——译者注）等于或大于6，则式5不成立。于是，n＝3和r＝3是由 3个三角形共有一个项角构成的多面体。根据式5，这个多面体有6个棱；根据式2，这个多面体有4个面；根据式3，这个多面体有4个顶角。显然，这是一个金字塔或四面形。n＝3和r＝4是一个具有8个面的多面体，其中4个三角形共有一个项角，即八面体。而n＝3和r＝5是一个具有20个面的多面体，其中5个三角形共有一个顶角，即20面体（参见本书第53页）。
若r＝3，则式4变化为：
1/n=1/E＋1/6 ，
同理可得，r也只能等于3、4或5。若n=3，则又是一个四边形；n=4，则是由六个正方形组成的多面体，即立方体；n＝5，则是由12个五边形组成的多面体，即12面体。
综上所述，除了3、4和5外，n和r不可能是其他整数。因此，世界上只能有正五面体。这就是用抽象而漂亮的数学方式推导出来的结果，而这个结果，正如大家都看到的，对人类社会曾经产生过巨大的影响。
附录3 从《大众天文学》到《宇宙》
附录3 从《大众天文学》到《宇宙》
——天文学大众化的100年
·李珩·
宇宙科学的重要使命在于探讨人类地球在宇宙中的位置，人和宇宙的关系，宇宙的构造和演化发展以至于宇航事业的实现和地外文明的探索等等。这些知识不但促进了科学技术的发展，而且在和愚昧无知、迷信偏见的斗争中起到了非常积极有效的作用。因此，宇宙科学的另一使命就是让人民群众去认识字宙、建立科学的世界现。在61年前去世的法国天文学家C．弗拉马利翁，曾经是向群众传播天文学知识的杰出人物，他最有名的著作《大众天文学》初版于1880年，后来不断修订再版，印行数十次，翻译成十几种文字，在全球流传，著名于世。60年代初期，我在李元同志的协助下，曾翻译出版了《大众天文学》的全泽本，由科学出版社于1965～1966年分三册出版，很受我国读者欢迎，对普及天文知识起到了良好作用。
在《大众天文学》问世100年之后，1980年，美国天文学家卡尔·萨根的名著《宇宙》大型电视系列片问世，同名的书籍《宇宙》也出版了，初版印数达50多万册，并用十多种文字，在80多个国家发行500多万册，现在海洋出版社出版了《宇宙》的中译本，我当然是极为高兴的。
卡尔·萨根可以说是当代的弗拉马利翁之一，他在科学普及上的非凡才能已经从《宇宙》一书及电视片的编剧中得到了证实。为了表彰他的功绩，国际天文学联合会于1982年把第2709号小行星命名为“卡尔·萨根”。
由于宇宙科学的空前发展以及大众传播媒介手段的多式多样，使天文学大众化进入了一个黄金时代，也为《宇宙》一书（及电视片）的内容更加丰富多彩奠定了客现基础；再加上作者的博学多识，富于想象和思考，因而作者能使本书把天文、地理、历史、哲学以及生命的起源进化和地外文明的探讨等等都熔于一炉而大放光芒。
《宇宙》中译本出版之际，该书的校译者李元同志求序于我，使我十分兴奋和愉快，愿与读者们共享将由本书带给我们的知识和乐趣。
1986年 6月于上海
时年89岁
附录4 萨根和《宇宙》
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