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现了带着加减号（p1us uiid minus）的增长形式，而那个活泼有力的“展开”
（Deve1oppons）也就在它的位置。上了；但是正如以前所说，这里的增长只
有算术的、有限的意义。须要规定的大小，它比一个易于规定的极限大些，
比另一极限又小些，假如展开这种条件，便将引导出这样的事：例如纵座标
的函数，对面积的函数而言，就是导出的第一函数。
拉格朗日对求曲线的长的说明，山于他从亚基米德原理出发，其饶有兴
趣之处在于理解亚基米德方法之翻译为近代解析原理，这使我们对于用另一
种方法去机械地搞的事业，可以洞见其内在的、真正的意义。这种办法的方
式与方才所举的办法①，必然类似；亚基米德原理并没有给予直接的方程式，
这个原理是说一条曲线的弧比包的弦我大，比在弧的终点反其交点间所做的
两条切线之和较小。那种亚基米德的基本规定翻译成近代解析形式，就是发
明一种表现法，其本身是一个简单的基本方程式，而那种亚基米德的形式却
只是提出要求，要在每时每刻本身都是规定了的一个太大者和一个太小者之
间无限进展，这种进展永远总是又有一个新的太大者和一个新的太小者，但
它们的界限总是愈来愈紧密地接近。借助于无限小的形式主义，立刻便立下
了dz2=dx2＋dy2 这一方程式。拉格朗日的解歌，由上述基础出发，却相反地
指出弧的大小，对一个导出的函数说来，是原来的函数，其特殊之项，本身
就是一个函数，这个函数是由一个导出函数与纵座标的原来函数的比率构成
的。
因为在亚基米德的办法中，也像以后在克卜勒立体几何学对象的讨论中
那样，都出现了无限小的观念，所以这一点常常被当作权威来引用，在微分
计中便使用了这个观念，而不去强调特殊的和有区别的东西。无限小首先意
谓着这样的定量的否定，即所谓有限表现或完成了的规定性之否定，这样的
规定性即是定量本身。同样，在后继的伐勒里烏斯①、卡伐列里②等人的著名
方法中，都是以对几何对象的比率之考察为基础，各种规定也首先是只从比
率方面来考虑，因此之故，那些规定的定量本身这一基本规定被放在一边，
从而那些规定就认为应该是非大小的东西。但是一方面在这里并没有认识和
注意到潜藏在单纯否定规定后面的一般肯定的东西，这在前面曾抽象地表明
为质的量规定性，而这种规定性在方冪比率中便更加确定；一一另一方面，
因为这种几率自身叉包括一定数量的更确定的比率如方静的比率及方幕的展
开函数等，所以它们又应该以那个无限小的一般的和否定的规定为基础，从
那里引导出来。在方才举出的拉格朗日的解说中，找到了包含在亚基米德阐
明问题的方式中的那种确定的肯定方面，因此对于那种受无界限的超越之累
的办法，也就给了一个正确的界限。近代发明的本身伟大处，和它解决以前
无法瘢S的问圈，以及用简单方式处理以前可解决的问题的能力，这些都完
全是由于发现了原来的和所谓导出的事物间的比率，以及发现一个数学整体
中具有这种比率的那些部分。
① 即规定所要求的大小，是在一较大者和一较小者之中。——译者
① 伐勒里鳥斯（ValertusI； Lucas），1618 年死于罗马，伽利略称他为当时的亚基米德，著有《从简单的错
误论求抛物线平面法》。——原编者注
② 卡伐列里（Cavalieri，BonaventuraFrancesco，1598…1647），意大利的数学家，著有《几何学》《几何习
题》等书。——译者
大小比率的特殊方面，是现在所谈论的特种计算的对象，对于须要强调
这一点的目的，以上引证大概可以满足了。这些引证曾经能够限于简单的问
题及其解决方式；要着手检察微积分计算所谓应用的全部范围，并且以所发
现的原理为应用的基础，将一切应用的问题及其解决都还原到原理那里来完
成归纳：这对于此处唯一有关的概念规定既不适宜，也非著者能力所及。但
是以上的论述，也足够指出每一特殊的计算方式，都以大小的一种特殊的规
定性或比率为对象，而这样的比率便构成了加、乘、乘方、开方根、计算对
数、系列等等，和这一样，微积分计算也是如此；就属于这种计算的东西而
言，方冪函数及其展开或乘方的函数的比率这个名词，或许是最合适的，因
为这个名词对事物的本性含有最确切的见解。不过，既然依据其他大小比率
的运算如加法等，一般都在这种计算中使用，于是对数、圆、系列等比率也
同样应用了，这特别是为了使那些从展开函数导出原来因数所必须的运算有
更加可以瘢S的表达。微积分计算固然共同具有较确切的兴趣，要用系列形
式来规定展开的函数，这些函数在系列中叫做各项的系数；但是因为这种 计
算的兴趣仅仅涉及原来函数和它的展开的最近的系数，于是系列便想要依照
具有那些系数的方冪而排列的众多的项，表现为一个总和。在无限系列中出
现的无限物，就是一般定量的否定物的不确定的表现，它与包含在这种计算
的无限物中的肯定规定，毫无共同之处。同样，无限小作为增长，展开借助
于它才变为系列的形式，它对于展开，只是一种外在的手段；而它的所谓无
限性，除了作为那种手段的意义而外，并没有任何其他的意义：因为所要求
的东西，事实上并不是系列，所以系列引出的东西太多，要费多余的努力再
把它去掉。拉格朗日虽然由于他的方法，在所谓应用中突出了真正的特殊性，
因为它无须将dx，dy 等强加于对象，直接指出了属于对象的导出（展开的）
函数规定的那一部分，从而表现出系列形式与此处所讨论的问题无关；但他
却又喜欢采用系列的形式，所以他的方法也就同样遭到上述的麻烦。①
① 在以前所引的批评中（《科学评论年鉴》第二卷，1827 年，第155—156 号以下），有一个精通本业的
学者史泊尔先生*的很有趣的说法，这是从他的《流量计算的新原理》（布朗施栓格，1826 年）引来的，
这些说法涉及一种情况，微分计算的晦涩而不科学，主要须水溯因于它，这也很符合于我们以前关于这种
计算的理论的一般情况所说的。他说：“纯算术的研究当然比一切类似的研究，都更与微分计算有关，人
们不曾将它与真正的微分计算分开，甚至像拉格朗日那样，把它认为是事物本身，而人们却把这种研究仅
仅看作是微分计算的应用，这种算术研究包括求微分的规则，泰勒定理的导数等，甚至各种求积分的方法
也在内，情况完全相反，那些应用才正是构成真正微分计算的对象，从解析出发的微分计算是以一切那些
算术的展开和运算为前提。”——我们曾经指出，在拉格朗日那里，将所谓应用与从系列出发的那种一般
部分的办法分开，怎样恰恰提供了突出微分计算本身特性之用。上述的那位著老说，正是所谓应用构成真
正微分计算的对象，但是可惊异的，是他有了这种镁有兴趣的见解，怎样会让自己进入（见上引的书）那
种连续大小、变、流动等等形式的形而上学，想在那些废物之上再添上斩的废物：那些规定之所以是形式
的，因为它们只圣是一般的范畴，没有举出事物的特点，而事物却是要从具体学说，从应用去认识和加以
抽象的。——黑格尔原注*史泊尔（Speht，Friedrich Wilhelm，1799—1833），布朗施维格的数学家，著有
《纯组全论的讲义大全》。——原编者注
注释三 其他与质的大小规定性有关的形式
微分计算的无限小，就它的肯定意义说，就是质的大小规定性，对于这
种规定性，我们曾较详细地指出它在这种计算中，不仅出现为一般的方冪规
定性，而且是一方冪函数与展开方冪的比率那种特殊的方冪规定性。但是这
种质的规定性所呈现的形式，还更为广泛，也可以说更为微弱；这种形式以
及与此有关的无限小的使用和无限小在这种使用中的意义，还应该在这个注
释中加以考察。
因为我们从以上所说的出发，在这方面便须首先记住，从解析方面看来，
各种方冪规定之所以出现为仅仅是形式的，并且完全是同质的，那是因为它
们意谓着数的大小，本身没有彼�