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但是和那种光学自长时期从来就已经开始一部分接着一部分在科学中实际上
被忽祝了一样（这里仍有不彻底处，即剩余的部分尽管其中有矛盾，却还是
被保留下来了），那些骗人的证明，事实上也同样已经有一部分被忘却或被
其他证明代替了。
注释二 微分计算从它的应用所引导出来的目的
前一注释中所考察的，一部分是微分计算所用的无限小的概念规定性，
一部分是将无限小引人微分计算的基础；两种规定都是抽象的，所风本身也
是容易的。但是所谓应用，却既提供了较大的困难，又提供了较有趣的方面；
这个具体方面的原素，应该是本注释的对象。微分计算的全部方法只用一个
命题便毕业了，即dxn=nxn…1dx；或
f x i fx
i
P
（ ＋ ） …
= =p，即等于依dx 或i 的方
幂而展开的x 十dx，x＋i，这个二项式的首项系数。再不需要学更多的东西；
以后的形式，如乘积的微分、指数的量等等推演，都可以机械地由此得出；
用很少时间，或许用半点钟，便可以学会全部理论——因为求得微分，其反
面，积分也就有了，即微分的原始函数也就求得了。不过，在以解析的方式，
即以完全算术的方式，由变量函数的展开而求得那个系数之后，在这个变量
由增长而获得一个二项式的形式之后——在课题这一情况很容易办好之后，
而其另一情况，即正在发生的系列，除首项外，其余诸项都被省略，仍有其
正确性：要懂得这一点并使其可以理解，却须费校长的工夫。假如情况是：
唯有那个系数才是必要的，那么，这就会正如我们所说，只要有了系数的规
定，一切与理论有关的东西，用不了半点钟便完结了；而省略系列的其余各
项也并不成为困难，它们之作为系列各项（作为第二、第三等函数，它们的
规定已经与第一项的规定一起解决了），倒是完全谈不到的，因为这里的事
情与它们毫不相干。
这里可以首先提说一下，人们当然立刻可以看出微分计算不像是只为自
己而发明、建立的；它之创立另一种解析办法，不仅不是为它自己，而且勉
强干脆省略掉展开一个函数所产生的各项，那倒简直是与一切数学原理完全
矛盾，因为这一展开的整体却仍然被认为完全属于有关的事情，——这个事
情被看作是一个变量（在格予这个变量一个二项式形态以后）的展开了的函
数与原始函数的区别。需要这种办法，而在这种办法本身那里又缺少论证，
这就立刻显出了它的来源和基础必定是在别的地方。在别的科学中，也曾出
现过同样的事，那首先树立起来的、作为基本的东西，并且许多科学命题都
应该从那里演溃С隼矗词且桓霾幻鞑话椎亩鳎睦碛珊透莘炊�
后来才得显明。微分计算史中的演进，说明了尤其在各种切线法，也同样是
以人工制造品作事情的开始；在方法扩展到更多的对象以后，它的方式才渐
渐被意识到，而被纳入抽象的公式，并被试图提高为原则。
我们已经指出过，那些被安置在相互比率中的定量，其质的量规定性就
是所谓“无限小”的概念规定性，这里联系着想用关于无限小的描写和定义
来证明那种概念规定性的经验的研究，在这种情况下，无限小是被当作无限
差分风及诸如此类的东两。——这种情况之发生，其兴趣只在于抽象的概念
规定性；更进一步的问题则是从这种抽象的规定性过渡到数学的形成和应
用，情况是怎样的。为此目的，首先须更进一步着手理论方面、即概念规定
性，它本身将证明并非是完全无益的；然后就要考察这种概念规定性与应用
的关系，并就这里范围所及，在这两方面都要证明，一般结论对于微分计算
所需要做的事，以及做成它的方式如何，都同样是适宜的。
这里首先需要提一下，现在所谈的概念规定性在数学方面的形式，已经
附带讲过了。量的事物，其质的规定性，首先一般地表现为量的比率，但是
在说明所谓各种计算方式时（参看有关的注释），也曾经预示在方幂比率（将
来在适当的地方还要加以考察）中，数由于它的单位和数目这两个概念环节
之相等被当作是回复到自身，从而在自身那里获得无限性、自为之有、即由
自身规定的有这一环节。于是，正如已经提到过的那样，显明的质的大小规
定性，主要是与方幂的规定有关，既然微分针算的特点就是用质的大小形式
来运算，那么，它的特殊的数学对象，就必定是对方幂形式的处理，而且有
关使用微分计算的全部课题及其解答，都指出唯有方幂规定本身的处理，是
其兴趣所在。
这种基础虽是如此重要，并且立刻把某种确定的东西提到顶点，代替了
徒具形式的范畴，如可变的、连续的或无限的大小之类，也代替了仅仅是一
般函数的范畴，却仍然太一般了，其他的运算也同样与此有关，先是乘方和
开方根，然后是指数大小、对数、系列的处理，较高级的方程式，其兴趣和
努力都只是在于以方幂为基础的比率。这些比率无疑必须共同构成一个处理
方幕的体系，方幕规定可以在各种比率中建立起来，但在那些比率之中，这
个体系却是微分计算的特殊对象和兴趣所在，它只是山微分计算本身，即由
所谓微分计算的应用，才可以取得。这些应用实际是事物本身，是数学解决
一定范围内的问题的实际办法；这种办法比理论或一般部分为时较早，它只
是后来由于以后创立了理论的关系，才被称为应用；理论想要提出办法的一
般方法，并给予方法以原则，即给予它以论证。至于曾经白费过什么样的努
力，要为以前对这种办法的观点找出原因，来真正解决出现的矛盾，而个是
仅仅用那种就数学办法说来虽属必要，但在这里却须省略掉的无足轻重的东
西，或走相同的路用无限或任意接近的可能性以及箸如此类，来宽恕或掩盖
这种矛盾：这在前一注释中已经指出过了。假如从被称为微分计算的这一数
学的现实部分用与以前不同的方式，抽掉这种办法的一般东西，那么，那些
原则和搞那些原则的努力，本身既然表明是某种歪斜的、仍陷于矛盾的东西，
所以也就大可省去了。
假如我们简单地接受数学这一部分现有的这种特点，加以研究，那么，
我们所发现的对象就是：
（1）方程式，任何数目的大小（这里一般可以以二这一数目为限）在这
些方程式中就联系为规定性的这样一个整体，即，第一，这些大小以作为固
定界限的经验的大小为其规定性，然后以这些大小与经验的大小的联系方式
以及它们自身周的联系方式为其规定性，这一点在一个方程式中的情况一般
都是如此：但是因为两个大小只能有一个方程式（相对地说来，较多的大小
当然就会有较多的为程式，但是方程式永远耍比大小的数目少），所以这类
方程式属于不确定的方程式：——第二，这些大小之所以在这里有其规定性，
因为它们的一种情况就在于它们（最少是它们中之一）之出现于方程式中有
比一次方幂较高的方幂。
对此须要先说几句话，第一，依据上述第一种规定，这些大小完全只有
像在不确定的解析课题中出现的那些变量的特性。它们的值是不确定的，但
是，情况却是这样的，即，假如一个大小从别处得到了一完全确定的值，即
一个数值，那么，另一大小也就确定了，这样，一个大小便是另一个大小的
函数。变量、函数似及诸如此类的范畴告所以对这里所谈的特殊的大小规定
性，仅仅如我们以前所说，是形式的，那是因为这些范畴所具有的一般性还
不包含微分计算全部兴趣所在的那个特殊方面，从而也不能用解析来解释。
这些范畴原本是筒单的、不重要的、容易的规定，只因为要把本来不在其中
的东西，即把微分计算的特殊规定，放到它们里面去，以便从它们那里又把
这种东西引导出来，这才造成麻烦。至于所谓常数，可以说常数先是作为漠
不相关的经验的大小，它对变量进行规定，也只是关于变量的经验的定量方
面，作为变量的最低或最高的极限，但是常数与变量的联系方式，对于特殊
函数（这个函数就是那些变量）的本性说来，本身也是它的环节之一。但是
反过来说，常数本身也是函数；例如一条直线