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一样的。——前面已经说过乘积的原始发现，是用简单的计数，即用指头等
等数得来的；后来依靠那些乘积的累积，即九九表，及对九九表的熟记，便
可以直接说出乘积了。
除法是依据同样的区别规定的反面算法。两个因素、除数与商数中哪一
个被规定为单位，哪一个被定为数目，同样是无所谓的。假如将除法的问题
表述为要看在一个已知数中包含一个数（单位）的多少倍（数目），那么，
除数就被规定为单位，而商数便被规定为数目；反之，假如就要把一个数分
成一定数目的等分并找出这些等分（单位）的大小，那么，除数就将被当作
数目，而商数则被当作单位。
3。相互规定为单位和数目的两个数，仍然还是彼此对立的数，因而完全
是不相等的数。相等是以后得到的，它是单位和数目本身的相等；这样，在
数的规定中的诸规定，其趋于相等的过程便完成了。根据这种完全相等的升
数，就是乘方（反面的算法就是求方根），——当然，首先就是把一个数提
高到平方，——这种计数，完全是自身规定的，在那里，
（1）要相加的许多数是同一的，
（2）这些数的多，或说这些数的数目，与那要被乘多少倍的数，
即单位，是同一的。此外，在数的概念中，既没有能够提供区别的规定，也
不能把数中所含有的区别求得进一步的一致。提高到比平方更高的幂方，那
只是一种形式的继续；———方面，幂数为偶数时，那就只是平方的重复；
——另一方面，方幂为奇数时，不相等又出现了，因为新的因数虽然对于数
目和单位二者在形式上仍是相等的（例如首先在立方那里），但是这个因数，
作为单位，却与数目是不相等的（平方，3 对3）；
（3）至于四的立方，那就更加不相等，那里的数目3，与应该根据这个数目
自乘的单位之数本身就不同。数目和单位这两个规定，本身就构成了概念的
本质区别，以致凡走出自身以外的都可以完全回复到自身上来，它们是必须
变为相等的。上面所说，也含有更进一步的理由，
即：一方面，为什么解较高的方程式，一定要归到平方的二次方程式；
另一方面，为什么有奇数幂的方程式只能有形式的规定，
而恰恰在方程式之根是有理数时，可以找到的只不过是虚数的表示，这正是
根所以为根及其表现的反面。——根据以上所说，似乎只有算术的平方才包
含绝对的自身规定的东西，因此具有其他形式的方幕的方程式必须归回到平
方；正如几何中的直角三角形，包含着毕达哥拉斯定理所指出的绝对的自身
规定性，所以一切其他几何形体的全部规定也都必须还原到直角三角形那里
去。
根据逻辑地构成的判断而进行的课程，要在讲比例学说之先，讲方幂的
学说。比例诚然与单位和数目的区别相关联，这种区别 就成第二种算法的规
定，但是单位和数目又是超出了直接定量的一以外，而在直接定量中，它们
却只是环节；根据定量而来的进一步的规定，对于那个定量本身仍然是外在
的。在比例中，数不再是直接的定量；定量有了规定性作为中介。质的比率，
我们将在以后加以考察。
关于所谓算法进一步的规定，可以说这种规定并没有关于算法的哲学，
也没有指明其内在意义，因为事实上，它并不是概念的内在发展。哲学必须
知道区别一种自身是外在的质料，按其本性就是什么；因为概念的进展，在
这样的东西那里，只有以外在的方式来表现，而其环节也只能是特殊的外在
形式，如此处的相等和不相等。要对实在的对象进行哲学思考，使外在的、
偶然的东西的特殊性不致被观念扰乱，而这些观念也下致由于质料的不适当
而受到歪曲和流于形式；那么，区别概念的一定形式（或说概念作为当前的
存庄）所属的范围，便是进行这种哲学思考的基本要求。在外在的质料那里，
比如说在数那里，概念环节是在外在性中出现的，但是那种外在性在那里却
是适当的形式；因为那些环节是用知性表现对象，并不包含思辨的要求，所
以显得容易，值得在初级教科书中应用。
注释二
①大家都知道毕达哥拉斯曾用数来表示理性关系或皙学问题。即使在近
代，为了根据数来整理思想或用数来表现思想，哲学中也曾使用数及其关系
的形式如因次等。——就教育的观点而言，数被认为是内在直观的最适宜的
对象，对数的关系的运算也被认为是精神的活动，精神在这种活动中就把它
最特有的关系，一般地说，本质的根本关系，显现给直观。数的这样高的价
值，能达到多少程度，是由数的概念产生的，正如概念自身所发生的那样。
我们曾经看到数是量的绝对规定性，而数的原素则是变成了漠不相关的
区别——即自在的规定性，它同时又完全只是外在地建立起来的。算术是分
析的科学；因为在它的对象中出现的一切关联和区别，都不是在对象本身之
中，而完全是从外面加之于对象的。它并没有具体的对象：具体对象有自在
的内在关系，起初隐藏着不被知道，不是在有关对象的直接观念中就呈现出
来，而是要由认识的努力才可以获致。算术不仅并没有包含概念以及由概念
而来的概念思维的课题，而且是概念思维的反面。因为有关联的东西对这种
缺少必然性的关联漠不相关的缘故，思维在这里的活动也就是思维自身的一
种极端的外在化；这种活动强使思维在无思想性之中运行，它把毫不能够有
必然性的东西联系起来。这种对象是外在性本身的抽象思想。
① 参看第120 页。
既然是这种外在性的思想，同时也就抽掉了感性的丰富多彩：它从感性
的东西所保留下来的，不过是外在性本身的抽象规定；感性的东西由此而在
数中最近于思想；数是思想自己外在化的纯思想。
精神是超出感性世界并认识自己的本质的，由于精神要为它的纯观念、
为它的本质表现寻找一种原素，它可以因此而在将思想本身当作这种因素来
把握，并为这种思想的陈述获得纯精神的表现之前，就陷于这样的情况，即
选择了数，这种内在的、抽象的外在性。所以我们在科学史中，看到很早便
用数来表示哲学问题。数构成用带着感性的东西来把握共相这种不完善的情
况的最后阶段。数是处于感性的东西和思想的中间，古人对于这一点也曾经
有过明确的意识。亚里土多德引证柏拉图（《形而上学》1 ，5）说：在感性
的东两和理念以外，其间还有事物的数学规定；它与感性的东西有区别，因
为它是不可见（永恒的）、不动的；它与理念不同，因为它是一个杂多的东
西并具有相似性，而理念则绝对只与自身同一并且自身是一。卡地斯的莫德
拉图（Moderatus aus Cadix）①关于这个问题更详细而透彻的想法，曾在马
尔可的《论毕达哥拉斯的生活》（Malchi Vita Pythagorae，里特胡斯版
＇ ed。Ritterhus＇第30 页以下）中有过引证，他认为毕达哥拉斯派抓住了数，
他们还不能够明自地用理性来把握根本理念和第一原理，因为这些原理是难
了思维的，也是难于说出的；数在授课时，供口讲指画之用却很好。毕达哥
拉斯派在这里和别的地方，都摹仿几何学家，后者不能以思想来表现具形体
的东西，便使用图形，说这是一个三角形，但在这样说的时候，他们却不是
要把眼前看到的图画就当作三角形，而只是用以设想一个三角形的思想。毕
达哥拉斯派把统一、同一和相等的思想，把一致、联系、一切事物的保持和
与自身同一的事物等等的根据，都说成是一，也是如此。——这里用不着再
就毕达哥拉斯派也曾从数的表示过渡到思想的表示，即过渡到相等和不相
等、界限和无限等显著的范畴；至于这些数的表示，也已经有过引证（见同
上书第31 页左边的注释，摘自福千＇Photius＇所编毕达哥拉斯的传第722
页），即：毕达哥拉斯派曾区别一无（Monas）和一；他们认为一元是思想，
而一则是数；同样，二是算术的东西，而二元（Dvas）
（这好像应该如此说法）则是不确定之物的思想。——这些古人很正确
地首先查觉到数的形式对于思维规定的不足之处，他们也同样正确地更为思
想要求特有的表现，来代替这种应急�