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业浇猓嚎悸怯隤关于S为对称的点p’，画线P’PQ（图5），然后按照定理＝QP·QP’作切点H。第二个解可通过取QH’＝QH得到。不过，最简单的和最雅致的解从下述简单的观察可以推出：存在无限多的作图，这些作图关于O与所要求的作图处于相似的位置。因此，如果我们画线OP（图6）和其中心在S上且与G，G’触切的任意圆K，那么它与OP的交点可以被视为与P同系的点。通过P与两个半径的平行线从而导致所要求的中心C，C’。
第八节
导致柏拉图发现分析方法的，必定是有独创性的理智独具的幸运的心理本能。人们只了解人们以前通过感官或在思想中偶然经验过的东西。在人们没有经验的领域，人们不能解决问题。为了把未知的东西减少到最小，没有比下述方法更好的方法了：想像在已经熟悉的案例中结合起来的已找到的和已知的东西，然后在建构时再追溯现在更容易看见的、从后者到前者的路线。它不仅仅对几何学有效。如果你想把树干横放在溪流上以便走过去，那么你想像已解决的问题：由于考虑到必须把树干拖到特定的地方，但是首先必须把树砍倒等等，你踩出从已找到的东西到给定的东西的路线，在实际的建桥中他不得不在相反的方向横越该路线，从而颠倒操作顺序。这是一个十分普通的实际思维的案例。最伟大的工程发明就其不是逐渐地由机遇提供，而是迅速地由自发的努力形成而言，它们似乎依赖于这个过程。富尔顿（Fulton）想像快速运动的船，该船带有连续转动的明轮推进器（通过与地上的车辆类比），而不是有节奏的作用的浆，还带有驱动明轮的蒸汽机等等。人们同样能够证明，最伟大的和最重要的科学发现把它们的起源归因于分析方法，尽管我们不能完全排除综合程序的参与。探究者和发明者的理智活动本身再次表明，它与普通人的理智活动并无本质上的不同。探究者把普通人通过本能解答的东西提升为方法。不过，这种方法已经在最古老的和最简单的精密自然科学即几何学中变成有意识的。
第九节
在进入自然科学中探究的类比方法的例子之前，让我们进一步考察一下几何学。头一批几何学洞察，甚至比较复杂的洞察，肯定不是通过演绎得到的，演泽属于科学的比较发达的水平，以牢靠的知识本体或对简化、程序和体系的要求为先决条件。确切地讲，这样的洞察像在自然科学中一样，是通过精密观察的实际需要，借助测量、计算、权衡和评估得到的；是通过直觉、只是后来才通过从先验知识的演绎，在比较、归纳、相似和类似的指导原则下，借助思索或思想实验得到的。在这里，相对较迟的古代探究者阿基米德的著作是十分富有教益的。他告诉我们，他和其他人在他们发现精密的形式和证明之前，就了解各种定理。例如，求抛物线的面积可以借助用切割和称量的薄片覆盖图样近似地获得。从该结果，阿基米德猜中精确的定律，后来成功地证明了它。即使在近代，这样的问题首先在经验上发现，通过近似解决，后来才精确地加以处理。在1615年，梅森（Mersenne）把数学家的注意力引向生成旋轮线的方法。伽利略只能用称量表明，该曲线的面积近似地是生成圆的面积的三倍，1634年罗贝瓦尔（Robeval）证明，这严格地如此。
第十节
如果我们形成关于某一命题C的存在的猜测，我们能够力图通过迅速的综合从已知的命题推导它，但是这需要相当牢固的有关基础的信息。要不然，我们可以尝试反过来分析地行进到C的邻近条件B，接着行进到B的邻近条件A。若A是已知的或自明的，则我们发现推论“A承担B，B承担C”。若非C来自B，B来自A，A原来是不可能的，则C再次被证明。这个最后的结果是无条件的。另一方面，如果分析被理解成为了直接证明的缘故，那么我们必须保证，命题“C以B为条件”、“B以A为条件”等等都是可改变的，因为只有此时才能够把颠倒的顺序看作是C的恰当证明。并非所有命题都是可改变的：M制约N无法从N制约M得出。举例：在正方形中（M），对角线是相等的（N）。反题：两个相等的对角线N确定正方形（M），这显然为假。为了得到反题，或者我们将不得不扩大概念M，用M’代替它，M’把迄今还没有发明出名称的许多具有相等对角线的四边形统统包括在内，或者我们可以把N的范围限制为某个N’。这样最后的步骤会导致可以改变的命题：在正方形中（M），两个相等且相互垂直的对角线在它们的中点相交（N’）。全等的图形是相似的，但是相似的图形必须在面积是全等的情况下才相等。三角形中的两个相等的边与相等的角相对，反之亦然。这些例子将足以表明，在应用理论分析或盖然性分析时需要谨慎小心。
第十一节
人们往往正当地感到遗憾，古代的探究者如此之少地告诉我们他们发明和研究的方法，确实用综合的说明把研究小径隐蔽起来。以此为背景，奥夫特丁格尔（Ofterdinger）强调，综合描述在系统化方面有某些长处。例如，仔细检查欧几里得的毕达哥拉斯定理的证明向我们表明，它的组成部分容许我们像在第一卷中那样，以它们在它之先的秩序构造所有的说明和定理。汉克尔（Hankel）、奥夫特丁格尔和曼关于几何学方法的评论完全值得一读。
第十二节
我们可以通过消除挡道的和导向死胡同的偏见，准备自然科学中的问题的答案。这样的境况的例子是从古代传下来的偏见：颜色是由冲淡的白光通过它与黑暗混合产生的。玻意耳反对这种观点，从而为牛顿正确地解决颜色问题铺平了道路。赫林解决三维视觉问题需要预先消除许多古老的偏见：心理空间必定有别于几何学空间，定向线理论被消除了，认为视觉感觉不同于其他心理形式。约翰·米勒、帕努姆（Panum）和赫林本人准备了基础。
第十三节
而且，问题的解决基本上是通过伴随的悖论的出现促进的，在悖论被消除之前，它们将不让理智平静下来。悖论出现的历史考察或从冲突的观点到最后的结果紧随的一切的研究，导致通向这样的要害的这条或那条道路：该要害的去除消解了悼论，通常解决了或至少澄清了问题。因此，如果我们深入到笛卡儿和莱布尼兹之间关于用mu或mu2测量力而争论的根源，我们辨认出，我们在这里仅仅有约定，我们能够按照约定或者借助时间、或者借助反抗另一个我们宁愿选择的无论哪一个力越过的距离，来测量运动物体的力。W．汤姆孙和J．汤姆孙利用处于凝固点的水的悖论的循环过程——如果在它的所有方面和结果来考虑——导致发现，凝固点由于压力而降低。
第十四节
并非所有在科学发展进程中出现的问题都被解决了；事实上，许多问题作为空洞的问题被丢弃了。通过表明建立在错误提问的问题是下可解决的，因为它们不可能感觉到甚或不能有任何答案，对这样的问题不予考虑，代表了科学本质上的进步。这样一来，由于科学放下了无用的和有害的负担，它获得了能够指向新的和富有成果的任务的更深刻和更清楚的视野。我们大家容易看见，不能通过四个任意点作圆，因为三个点已经决定了它；但是，如果我们能够证明，只能近似地求圆的面积，五次方程没有代数解，多代人徒劳地追求的形形色色的问题是不可解的或无意义的，那么这些是无论怎么估计都不过分的成就。例如，最有价值的证明，是表明永动机不可能，从而暴露了我们最牢固确立的物理学知识和这样一种设计之间的矛盾的证明问题的这种取消导致能量守恒原理的发现，该原理是进一步的较持殊发现的最强大源泉。在每一个领域，我们都发现被抛弃的问题，或者例如被如此彻底地修正、以致与原来的问题几乎不再相似的问题。在古老涵义上的宇宙起源学说不再被提出。没有人在一百年前还在这样做的涵义上寻找语言的起源。不久，不再有人将被诱使把心理现象还原为原子运动，或者用特殊的实物、质或能量的形式说明意识。
第十五节
自然科学中的命题像几何学中的任何命题一样，也具有“若M存在则N存在”的形式，�