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，此后结果对作者而言变得完全通晓和熟悉了。每一个说明、证明和演绎都是这个过程的结局。
科学史毋庸置疑地表明，数学、算术和几何学都是在从收集有关可数的和可度量的物体的单纯经验的机遇中开始发展起来的。通过对这样的物理的经验频繁地作心理对照，它们的相互关联首次变清楚了。不管这种洞察何时碰巧缺乏意识，我们的数学知识都具有所获得的经验的特征。任何一个致力于数学探究或力图解决诸如积分微分方程问题的人都将承认，思想实验肯定在思想建构之先。历史上重要的和有成效的不定系数法实际上是实验方法。在确立sinx，cosx，e x 的级数时，人们发现，把符号表达式e ix 和e －ix 展开为级数的尝试自动地给出表达式cosx＝1/2（e ix ＋e －ix ），
sinx＝（1／2i）（e ix －e －ix ），尽管这在计算上是有用的，但是在有可能指明它们的真实涵义之前，它们长期以来只具有纯粹符号的意义。
在画圆时，人们观察到，对于每一个已知初始位置左边的半径，总是在右边的相同的角距离存在一个半径，以致圆关于初始位置为对称，因此在所有方向，每一个直径都是对称轴。被它一分为二的所有弦，包括长度为零的极限弦（切线），都与它成直角。两个相等但相对地与轴倾斜的半径总是与圆在对称画的矩形的四个角相交。古代的探究者，甚至近代的初学者，对于以这种方式获悉半圆上的角总是直角，可能惊奇不已。一旦我们注意到圆周角和圆心角之间的关系，我们通过沿孤运动的顶点发现，在它的每一点同一弦出现在同一角下，这甚至在顶点趋向无论哪个边的弦的一端时也有效：圆周角的一个边此时变成弦，另一个边变成在它的端点处的切线。如果容许割线之一的两个交点相互运动直到它们重合，那么关于从一点到圆的两条割线的线段的比例的定理便过渡到关于切线的对应的定理。依赖于我们认为圆是用圆规画出的，还是用它的边总是通过两个固定点刚性角产生的，或者我们是否观察两个圆总是能够被视为类似的和处于类似的境地，总是存在着出现的新性质。图形的变化和运动、连续的变形、特定要素的消失和无限的增加，在这里也是使探究富有生气的手段，告诉我们新性质，并促进对于它们的关联的洞察。必须假定，有形实验和思想实验的方法首先只是在易接近的和有成效的领域中得以发展，并由此传播到自然科学。如果在数学中、尤其是在几何学中的初等教学处于这样僵化的教条形式中不运动，如果展示处于脱离内容的孤立定理中不继续行进——这导致畸形地交织的批判和不负责任地隐藏启发式方法，那么这种观点确实是比较共有的。在实验和演绎之间的巨大而明显的裂痕事实上并不存在。这总是思想与事实和思想相互协调的问题。如果实验没有产生预期的结果，那么对于发明家或工程师来说它可能是相当大的退却，但是探究者将认为它是他的思想与事实未准确符合的证据。恰恰是这类明确表达出来的不适合，能够导致新的阐明和发现。
第十四节
思想与实验的密切结合建立了近代自然科学。实验产生思想，思想接着进而转向与实验再次比较并被修正，这样便产生了新概念，如此反复不已。这样的发展在达到相对完备的阶段之前，可能要花费数代人的时间。
常听人说，探究是无法教给的。在某种涵义上这是正确的：形式逻辑的三段论法，甚至归纳逻辑，都不会有多大帮助，因为理智情境从来也不会重复它们自己。然而，伟大探究者的榜样是十分富有启发性的，正如上面简短指出的那样，在他们的典型之后进行思想实验必定是有利的。正是运用这种方法，后来的数代人体验到探究中的进步，因为对早期探究者来说具有巨大困难的问题现在容易解决了。
《认识与谬误》
恩斯特。马赫著 洪佩郁译
第十二章 有形实验及其主要特征
第一节
实验能够被描绘为对新反应或它们的相互关联的自主探求。前面提到的有形实验是思想实验的自然继续，它出现在后者不能容易地决定结果、或不能完备地决定结果、或根本不能决定结果的地方。甚至对某一引人注目的事物的偶然观察也能本能地激起运动神经反应的特殊模式，从而给我们以关于新反应或它们之间的联系的知识。如果我们充分注意的话，这样的案例能够在动物身上、甚至在我们自己身上观察到：我们可以称这一点为本能地做实验。不过，如果碰巧的观察以某种异乎寻常的方式使我们想起某一已知的关联，尤其是，如果该观察与已知的或熟悉的东西形成明显的对照，那么结果必定启发思想，可以把这些思想看作是在现在随之而来的有形实验背后的特殊原动力。在许多这种类型的案例中，我们回想起伽利略的悬挂的灯，格里马尔迪的阴影边缘上的有色条纹，玻意耳和胡克的玻璃锋利裂缝中和肥皂泡上的颜色，伽伐尼（Galvani）的蛙，阿喇戈（Arago）的用铜盘使磁针减幅以及他的色偏振的发现，法拉第的感应发现等等。每一个实验者将熟悉来自他自己的经验的相似的例子，尽管它们之中没有几个像提到的例子那样在历史上将是必不可少的和富有重要意义。我对感觉器官的研究开始于对照，当边或对角线是垂直之时正方形的样态。我发现亮度对照定律的扩展开始于偶然观察到带有弯曲边缘的旋转扇形的现象，这借助塔尔博特（Talbot）和普拉蒂奥（Plateau）定律是无法理解的。偶然观察不仅能够促动理论上的重要发现，而且也能促动实践上的有价值的发明。据说，塞缪尔·布朗（Samuel
Brown）通过观察蜘蛛织网导致地建造悬索桥，詹姆斯·瓦特（James
Watt）通过观察蟹壳导致他计划供水系统。我在其他地方讨论了，这样的案例在多大程度上依赖于机遇，它的功能是什么。
第二节
因此，通过有形实验和系统的观察审慎地、自主地扩展经验，总是受思想的引导，而不能截然限制和割断思想实验。这就是现在要讨论的有形实验的必不可少的主要特征对于思想实验、一般地对于探究来说也是重要的原因。这些主要特征能够从探究者的工作中抽取出来；迄今，它们从未停止作用，以致我们如果注意它们，我们能够期望进一步的成功。当然，我们的叙述不是毫无遗漏的。
第三节
我们能够从实验获悉的东西，整体地和唯一地寓居于现象的要素或条件的依赖或独立之中。通过任意地改变某个要素群或单个要素，其他要素也将变化，或者也许依然不变。实验的基本方法是变异法。如果每一个要素只能独自变化，那么事情会是相对容易的：系统的程序会立即揭示出存在的依赖。然而，要素通常是通过群结合在一起的，一些要素只能随另一些要素变化：每一个要素通常以不同的方式受几个其他要素影响。因此，我们不得不组合变异，随着要素数目的增加，要求检验实验的组合数目也急剧增长（简单的计算表明这一点），以致问题的系统处理变得愈加困难，以至最终在实际上不可能进行。在大多数案例中，审慎的实验在没有来自偶然观察的在先经验的情况下，恐怕是无能为力的。在生物学的需要中获得的经验使任务变得比较容易，因为它能够给我们以依赖和独立的最强烈的关系的粗糙图像，不过这必须针对科学的新意图而显著矫正。因此，当我们开始一系列实验时，我们至少大略知道，在当时可以忽略什么条件。较仔细地决定这样的独立，无论如何是十分重要的。例如，事实上，其他物体在一个物体上产生的各种加速度是相互独立的，对于同时的辐射和稳恒的电流和热流而言同样如此，我们能够借助隔离原理进行，并针对它们的组合利用叠加原理。
第四节
要决定现象的相互依赖，我们必须把定性的依赖与定量的依赖区分开来。例如，如果实验告诉我们，在仅仅被看作是通过聆听发现的全音阶的音调中，C和G是和声，而C和B是不和谐，那么我们决定定性的依赖。另一个例子是这样的事实：某种红和绿组合为白，而红和蓝产生紫。进一步的定性案例是，化学家�