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上说——的希望和决心”写了一封值得注意的信。该信是汉密尔顿1834年写给威廉·休厄尔的。汉密尔顿写道（汉金斯，1980，177－178），新的动力学“也许将引起一场革命”。非数学家一般都不熟悉汉密尔顿的著作。我们上面作评论时刚刚引证的那篇论文就是《动力学的一般方法》（1834）。在该文中，汉密尔顿提出了他所说的“示性函数”的特性，并且揭示了“接近示性函数以把它运用到行星和替星的摄动的方法”（汉金斯1972，89）。示性函数是汉密尔顿两个伟大的“发明”之一；另外一个伟大的发现是“四元法”（四元数），这是一个三维复数体系，人们可以用一种类似于向量解析的方法使用这个体系。J．威拉德·吉布斯所发明的向量解析最终取代了作为动力学和数学物理学语言的四元法（四元数）。（汉密尔顿的四元数在他们所处的时代是如此流行，而且又是如此完全适合物理学，以致J，C．麦克斯韦在他关于电和磁的著名的论著中把它们用于对电磁这个学科的数学表述。）汉密尔顿的论文“第一次对应用于动力学的示性函数作了一般性的陈述”（p．88〕，而且发展了我们今天所说的“汉密尔顿’原理。这篇论文的确是具有革命性的，因为，他在该文中推导出了运动的“典型方程组”，“汉密尔顿的主要函数”，以及汉密尔顿自己关于人们后来所说的汉密尔顿…雅可比方程的看法。汉密尔顿的《动力学的一股方法》这篇论文（1834；1835年作了增补）对经典力学作了公式化的说明，这个说明后来成为今天量子论和统计力学的权威标准。
汉密尔顿方法，特别是雅可比发展了的方法，已证明对天体力学是尤为有用的。例如，它对于解决如何测定三个天体的运动——根据牛顿的万有引力反比定律，其中的每一个天体都吸引着其他两个天体——问题是特别重要的。由于人们普遍接受了向量解析以及张量解析，所以，在自然科学中已经淘汰了汉密尔顿的四元数。J．D．诺思认为（1969），归根到底，汉密尔顿四元数理论的“压倒一切的重要性”可能在于“它引入了一个非互换乘法定律”，这一定律“激励其他的代数学家从他们的公理中”剔除互换律。（互换乘法定律指，两个数相乘的次序并不影响其乘积——8乘以2的积与2乘以8的积相同。）
在19世纪，有关概率和统计学的三个主要领域都获得显著的发展。第一个领域是数学理论（以拉普拉斯为先导），第二个领域是统计学应用于对社会的分析，从所谓的“道德统计学”开始；第三个领域是为科学引入了一个统计学基础。其中第二个领域通常与比利时统计学家阿道夫·凯特尔的名字联系在一起。凯特尔以其关于某些数字恒久性或合规律性的意外发现——婚姻、死亡、出生、犯罪等等——而使全世界的读者震惊。
我们有一个相当充分的证据可以雄辩地证明有关社会的新的统计学的发现的革命影响。正如约翰·赫歇尔爵士在1850年所说的（PP．384－385），“人们开始惊奇地——但并不是没有某些良好的渺茫的期望——听到”
不仅生死和婚嫁，而且法庭的判决，普选的结果，在抑制犯罪时所进行的惩罚的影响——医疗的比较值以及治疗疾病的不同方式——自然研究的每一个部门的数字结果中的有限的概差——自然的、社会的和道德的原因的发现，——而且，甚至证据的重要度，以及合乎逻辑的论点的确实性——似乎都可以用对一个无偏见的分析的敏锐的彻查来测定。这里所说的对一个无偏见的分析的敏锐的彻查，即使不会立刻导致实在（实证）真理的发现，至少也将保证发现和排除许多有害的和不断侵扰的谬误。
这一段文字搞自《爱丁堡评论》（1850年7月）中关于刚刚出版的凯特尔与阿尔贝特国王有关《概率论》的通信集的译本（1849）的一篇人们广泛阅读和争论的文章（见赫歇尔1857，365ff．）。
但是，发生过一场革命吗？估计对社会所作的新的统计学的分析是否由于其深远的意义而被视为一场统计学的革命的一个方法，就是认识反对新的统计学思维方法的激烈程度。以统计学为基础的科学或知识的两个反对者是奥古斯特。孔德和约翰·斯图尔特·密尔。孔德在其《实证哲学教程》（bk．6，Ch．4）中嘲笑“某些几何学家妄想使社会研究服从一种奇异的数学的概率论而使社会研究成为一种实证研究’h855，492）。孔德严厉驳斥詹姆斯·伯努利，尤其是孔多塞企图把概率论和统计学应用到社会理论（或社会学）之中。他说（p．493）
人们开始普遍认识到政治哲学的真髓，而且事实上由于孟德斯鸠、孔多塞本人的努力，这一真髓已被揭示出来，此外，社会的新的动荡也强有力地鼓舞着人们。在这样一个时候，拉普拉斯再重复这样一个哲学错误，是没有任何理由的。从那时起，一系列模仿者用单调乏味的代数学的语言继续重复这个幻想，而没有增加任何新的东西，滥用了恰恰属于真正的数学精神的荣誉；所以，这个谬误现在只是将会使用它的政治哲学的极端无能的一个不自觉的证明，而不是像一个世纪之前那样，是科学研究的不成熟的本能的一个象征。再也没有哪个概念比这个概念更荒谬了：它把一种假设的数学理论作为它的基础或它的操作模式。在这种理论当中，符号被误认为思想，我们计算和测定数字的概率；进行这种计算也就等于把我们自己的无知看作是测量我们各种观点的几率次序的自然手段。
孔德反对统计学和概率论很可能是基于他这样一个信念：“一切科学的目标都在可预见”（即准确的预言）；他在1822年关于“改造社会”的一篇文章中提出了这一论点（弗莱彻1974，167）。为达到这一目的，“由对现象的观察所确立的规律”应当使科学家能够预言现象的接续和演替。由此可见，“对过去的观察应当像我们在天文学、物理学、化学和生理学中所看到的那样，揭示未来”。在《实证哲学教程》第六卷（“社会物理学”）中，孔德扩展和进一步发挥了这个论题。在其中的第三章中，孔德主张，“社会现象服从自然规律，同时容许合乎理性的预见”。孔德这里所说的是合乎理性的经典力学的简单的因果律的预言——他认为，这些预言与统计学和概率论的“不准确的”预言是相对立的。
约翰·斯图尔特·密尔在其最重要的或“主要的哲学著作”《逻辑体系》中，反对科学或社会科学中的统计学论点或对概率的误用。密尔认为（1973－1974，1142），“确实需要有充分可靠的证据使任何有理性的人相信，我们的无知可以通过一个对数字起作用的系统而溶入到科学中去”。密尔又说，“这个奇怪的意图无疑导致一位学识渊博的思想家——孔德先生——极端地反对整个的这个学说，尽管事实上保险业的实践以及其他大量实在的经验天天都在证明着这一学说”。这个陈述，如同《逻辑体系》第一版（1843）中的其他陈述一样，在第二版和后来出版的其他版本中被删除了；但是，没有哪一位读者会忽视或忘记这样一个明显的结论：密尔对于概率的基础以及运用概率的有效性抱以完全否定的态度（见密尔1973－1974，8－9：bk．3，ch．17－18，app F，G，pp．1140－1153）。当密尔在其《逻辑体系》（1973－1974年，bk．3，ch．18，&；amp；3）中说“对概率运算的误用”已经使之成为“数学的真正耻辱”时，人们对他的观点就确信无疑了。
许多科学家和哲学家或者直接反对在科学中使用概率和统计学，或者对在科学中使用它们的正确性表示极大怀疑。迟在1890年，彼得·格思里·泰特在其《物质的特性》第2版中，可能仍然采取一种反统计学的态度，并且说到“由于对《概率论》的显然是没有根据的运用——统计学的方法正是以概率论为基础的——而大大增加的”气态运动论中“仍然存在着的困难”（p．291）。
克劳德·贝尔纳对在科学中对统计学和概率的运用进行了更频繁的和坦率的批评。贝尔纳通常被人们称作近代实验生理学的奠基人。他在其《实验医学研究导言》（1865；1927，131－139）中直率不讳地说他不知道“我们怎么能够在统计学的基础上教授应用的精密科学”�