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回答。在前一篇论文中，高斯提供了椭圆面向球面投影时距离和方向的所有
变换公式，并以汉诺威三角网为例证，对公式的具体运用作了详细的介绍。
由于通过变换公式计算难以获得精确解，高斯用了近三年的时间，于 1847
年又创立了可直接用于椭圆面的计算方法，这种方法至今仍在大地测量学中
保持着它的实用价值。
高斯在大地测量的实践中，不断革新，丰富了大地测量学的理论。他把
天文学引进大地测量中，创造了太阳等高测定时间法，太阳近中天高度测纬
度法，特别是同时测定时间和纬度的多星等高法，广泛适用于各级精度的大
地天文定位，一直沿用至今。他把数学引进大地测量中，使用了最小二乘法
进行观测值的平差，在大地计算中推导出内插公式，他创造的高斯正投影（亦
称相似投影或等角投影），解决了将椭球曲面图形投影到球面上的问题，使
地图数学精度得以提高，从而推导出等角横切椭圆柱投影 （即高斯投影）、
立体投影、正形标准圆锥投影及双投影等公式。由于他解决了地图投影的难
题，1822年丹麦科学院授予高斯特别奖，以表彰他在大地测量方面取得的成
就。
汉诺威大地测量工作直到1848年才基本结束。这项大地测量史上的巨大
工程，如果没有高斯在理论上的仔细推敲，在观测上力图合理精确，在数据
处理上尽量周密细致的出色表现，就不能完成。在当时条件下布设这样大规
模的大地控制网，精确地确定2578个三角点的大地坐标，可以说是一项了不
起的成就。
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六、非欧几何和微分几何
早在公元前300年，古希腊数学家欧几里得在总结前人研究和实践成果
的基础上，用演绎法叙述平面几何原理，一般称为“欧氏几何”。欧几里得
提出的五条基本公里，是世界公认的最早公理化名作，其中前四条是容易理
解的。但是，第五条平行公理即在平面上过直线外一点，能，而且只能作一
条直线与该线平行，却反映出许多的复杂方面。
历史上许多数学家都试图借助前四条公理来证明平行公理，直到18世纪
时，许多做过尝试的人都一一失败了。
高斯在1792年，也就是他15岁时，已经有了非欧几何的思想。这个思
想包括两个内容，一是他意识到除欧氏几何外还存在着一个无逻辑矛盾的几
何；二是在这几何中欧氏几何的平行公理不成立。1799年，高斯在给非欧几
何的另一创立者，匈牙利数学家鲍耶 （1802—1860）的父亲的信中，再次强
调了平行公理无法在欧氏几何中加以证明的意见，并开始重视开发新几何学
的内容。从1813年起，高斯先后称他所设想的几何学为“反欧几里得几何”、
“星际几何”、“非欧几里得几何”等。高斯不仅确信新几何无逻辑矛盾，
而且还似乎相信它是可用的。1817年，高斯在给奥尔伯斯的信中说：“我愈
来愈深信我们不能证明我们的 ‘欧几里得’几何具有‘物理的’必然性，至
少不能用人类理智，也不能给予人类理智以这种证明。或许在另一个世界中
我们可能得以洞察空间的性质，而现在这是不能达到的。”后来，在汉诺威
大地测量时，高斯试图通过测量霍海哈根——布洛肯——英泽尔堡三个山头
所构成的三角形的内角和，以验证非欧几何的正确性，但未成功。
高斯关于非欧几何的思想尽管十分卓越，但他却没有及时发表，因为占
优势的传统势力并未被说服。1813年，他曾气愤地说：“在平行线的理论中，
我们现在并不比欧几里得研究得更深更好，这是数学界的耻辱。我终究相信，
在数学领域内或迟或早将会得出一个崭新的概念。”对于平行公理的被埋没，
他感到十分惋惜，说：“平行公理的论证便如粪土一样地被埋没了。”高斯
关于非欧几何学的论点，虽然没有公开发表，但是他的知己朋友们知道他的
研究情况。施魏卡特就曾称赞高斯是非欧几何学的“伟大创始者”。
当时，除高斯外还有其它一些数学家研究“非欧几何学。”高斯的朋友
鲍耶的儿子雅诺斯在1823年证明了非欧几何的存在，并于1931年在其父亲
的著作的附录中公布了这一成果。高斯对年轻人勇于探索的精神表示了赞
扬。他说：“今天我特别高兴地收到了从匈牙利寄来的关于非欧几何论述的
小册子，雅诺斯在小册子中发展了我的思路和成果，并取得了巨大的成功。
虽然这些论述对一些人来说是比较陌生的，但对于一位青年来说却是非常难
能可贵的，我认为他具有第一流的数学天才。”
另外，远在俄国喀山的一位数学家罗巴切夫斯基也发表了关于非欧几何
的论著，同样也得到高斯的称赞。1826年，罗巴切夫斯基在喀山科学协会上
作了非欧几何的学术报告。1829年，正式出版了题为《论几何学的原始基础》
一书。这部著作在俄国没有引起任何反响。1837年，罗巴切夫斯基将文章译
成法文并公开发表，法国一些评论家仍然没有认识到这篇论文的重要性，甚
至把它称为“抽象的几何学”。1840年，罗巴切夫斯基又用德文写了《平行
线理论的几何研究》一文。这篇论文发表后，引起了高斯的注意，他非常重
视这一论证，积极建议哥廷根大学聘请罗巴切夫斯基为通信院士。为了能直
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接阅读他的著作，从这一年开始，63岁的高斯开始学习俄语，并最终掌握了
这门外语。为了使非欧几何能够尽快得到世人的承认，高斯向他的朋友舒马
赫推荐了这篇文章，在1846年11月28日致舒马赫的信中他说：“这篇论文
阐述了非欧几何学的一些要素，使之成为一个比较严密的体系。您知道，我
在54年前就曾有过这些概念，所以这篇文章对我来说，并不新奇。问题是罗
巴切夫斯基从另外一条路子上发展了它，说明他具有卓越的几何天才。因此，
我希望您能仔细详读这篇文章，它将使您获益匪浅。”
今天，非欧几何已经被人们承认并接受。高斯、雅诺斯、罗巴切夫斯基
三人并称为非欧几何的发明者。在这里，高斯不仅是最先发明者，而且还为
后辈数学家的发明提供了必要的条件，高斯的这种大公无私的精神受到后世
人的称赞。这段历史也成为了数学史上的一段佳话。
如果说非欧几何是他纯粹数学思维的结晶，那么微分几何则是高斯将数
学应用于实际的产物。
18世纪后期，微分几何从克莱罗开始，经欧拉、蒙日深入研究而发展起
来。当时研究的重点限于曲线点上的性质，尚未进行对曲面性质的深入研究，
也未建立起曲面微分几何的理论。高斯从大地测量和地图绘制的实践中，引
出了许多关于曲面的问题，特别是地图绘制，它涉及到如何最精确地在平面
上画出地球表面各部分的形态，由于尺度比例必须受到地球表面弯曲程度的
影响而有所改变，因此在当时要完全正确地画出地图是不可能的。于是就产
生了关于寻求最精确的绘制方法的问题，在数学上则表现为对曲面的一般理
论和分析学的一般方法的探求。
在《论曲面的一般研究》中，高斯从曲面方程x＝x（u、v），y＝y（u、
v），z＝z（u、v）着手，对曲面作了系统的研究，他给出了任何曲面弧长元
素的微分表达式，即所谓高斯第一基本二次形式 （ds2＝dx2＋dy2＋dz2）；曲
面上两条曲线之间的夹角公式；以及曲面上任意点处的曲率的定义及计算方
法。一个重要的结果是：高斯发现，曲率仅仅是参数u、v的一个函数，它与
曲面是否在三维空间中或曲面在三维空间中的形态完全无关，这就等于指
出，如果一张曲面能展开成另一张曲面，那么曲面上任意一点的曲率是不变
的；如果建两张一一对应的曲面，那么在对应点上必然有相同的总曲率，必
然有相同的几何。因此，对曲面上几何的研究完全可以集�