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夫所谓率者，有九流焉：一曰方田，以御田畴界域。二曰栗米，以御交质变易。三曰衰分，以御贵贱廪税。四曰少广，以御积冪方圆。五曰商功，以御功程积实。六曰均输，以御远近劳费。七曰盈肭，以御隐杂互见。八曰方程，以御错糅正负。九曰句股，以御高深广远。皆乘以散之，除以聚之，齐同以通之，今有以贯之。则算数之方，尽于斯矣。
古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。又设开差冪，开差立，兼以正圆参之。指要精密，算氏之最者也。所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。
○和声
传称黄帝命伶伦断竹，长三寸九分，而吹以为黄钟之宫，曰含少。次制十二管，以听凤鸣，以别十二律，此雌雄之声，以分律吕。上下相生，因黄钟为始。《虞书》云：「叶时月正日，同律度量衡。」夏禹受命，以声为律，以身为度。《周礼》，乐器以十二律为之度数。司马迁《律书》云：「黄钟长八寸七分之一，太簇长七寸七分二，林钟长五寸七分三，应钟长四寸三分二。」此乐之三始，十二律之本末也。班固、司马彪《律志》：「黄钟长九寸，声最浊；太簇长八寸；林钟长六寸；应钟长四寸七分四厘强，声最清。」郑玄《礼·月令注》、蔡邕《月令章句》及杜夔、荀勖等所论，虽尺有增损，而十二律之寸数并同。《汉志》京房又以隔八相生，一始自黄钟，终于中吕，十二律毕矣。中吕上生黄钟，不满九寸，谓之执始，下生去灭。上下相生，终于南事，更增四十八律，以为六十。其依行在辰，上生包育，隔九编于冬至之后。分焉、迟内，其数遂减应钟之清。宋元嘉中，太史钱乐之因京房南事之余，引而伸之，更为三百律，终于安运，长四寸四分有奇。总合旧为三百六十律。日当一管，宫徵旋韵，各以次从。何承天《立法制议》云：「上下相生，三分损益其一，盖是古人简易之法。犹如古历周天三百六十五度四分之一，后人改制，皆不同焉。而京房不悟，谬为六十。」承天更设新率，则从中吕还得黄钟，十二旋宫，声韵无失。黄钟长九寸，太簇长八寸二厘，林钟长六寸一厘，应钟长四寸七分九厘强。其中吕上生所益之分，还得十七万七千一百四十七，复十二辰参之数。
梁初，因晋、宋及齐，无所改制。其后武帝作《钟律纬》，论前代得失。其略云：
案律吕，京、马、郑、蔡，至蕤宾，并上生大吕；而班固《律历志》，至蕤宾，仍以次下生。若从班义，夹钟唯长三寸七分有奇。律若过促，则夹钟之声成一调，中吕复去调半，是过于无调。仲春孟夏，正相长养，其气舒缓，不容短促。求声索实，班义为乖。郑玄又以阴阳六位，次第相生。若如玄义，阴阳相逐生者，止是升阳，其降阳复将何寄？就筮数而论，乾主甲壬而左行，坤主乙癸而右行，故阴阳得有升降之义。阴阳从行者，真性也，六位升降者，象数也。今郑乃执象数以配真性，故言比而理穷。云九六相生，了不释十二气所以相通，郑之不思，亦已明矣。
案京房六十，准依法推，乃自无差。但律吕所得，或五或六，此一不例也。而分焉上生，乃复迟内上生盛变，盛变仍复上生分居，此二不例也。房妙尽阴阳，其当有以，若非深理难求，便是传者不习。
比敕详求，莫能辨正。聊以余日，试推其旨，参校旧器，及古夹钟玉律，更制新尺，以证分毫，制为四器，名之为通。四器弦间九尺，临岳高一寸二分。黄钟之弦二百七十丝，长九尺，以次三分损益其一，以生十二律之弦丝数及弦长。各以律本所建之月，五行生王，终始之音，相次之理，为其名义，名之为通。通施三弦，传推月气，悉无差舛。即以夹钟玉律命之，则还相中。
又制为十二笛，以写通声。其夹钟笛十二调，以饮玉律，又不差异。山谦之《记》云：「殿前三钟，悉是周景王所铸无射也。」遣乐官以今无射新笛饮，不相中。以夷则笛饮，则声韵合和。端门外钟，亦案其铭题，定皆夷则。其西厢一钟，天监中移度东。以今笛饮，乃中南吕。验其镌刻，乃是太簇，则下今笛二调。重敕太乐丞斯宣达，令更推校，钟定有凿处，表里皆然。借访旧识，乃是宋泰始中，使张永凿之，去铜既多，故其调啴下。以推求钟律，便可得而见也。宋武平中原，使将军陈倾致三钟，小大中各一。则今之太极殿前二钟，端门外一钟是也。案西钟铭则云「清庙撞钟」，秦无清庙，此周制明矣。又一铭云「太簇钟徵」，则林钟宫所施也。京房推用，似有由也。检题既无秦、汉年代，直云夷则、太簇，则非秦、汉明矣。古人性质，故作僮仆字，则题而言，弥验非近。且夫验声改政，则五音六律，非可差舛。工守其音，儒执其文，历年永久，隔而不通。无论乐奏，求之多缺，假使具存，亦不可用。周颂汉歌，各叙功德，岂容复施后王，以滥名实？今率详论，以言所见，并诏百司，以求厥中。
未及改制，遇侯景乱。陈氏制度，亦无改作。
西魏废帝元年，周文摄政。又诏尚书苏绰详正音律。绰时得宋尺，以定诸管，草创未就会闵帝受禅，政由冢宰，方有齐寇，事竟不行。后掘太仓，得古玉斗，按以造律及衡，其事又多湮没。
至开皇初，诏太常牛弘议定律吕。于是博征学者，序论其法，又未能决。遇平江右，得陈氏律管十有二枚，并以付弘。遣晓音律者陈山阳太守毛爽及太乐令蔡子元、于普明等，以候节气，作《律谱》。时爽年老，以白衣见高祖，授淮州刺史，辞不赴官。因遣协律郎祖孝孙就其受法。弘又取此管，吹而定声。既天下一统，异代器物，皆集乐府，晓音律者，颇议考核，以定钟律。更造乐器，以被《皇夏》十四曲，高祖与朝贤听之，曰：「此声滔滔和雅，令人舒缓。」
然万物人事，非五行不生，非五行不成，非五行不灭。故五音用火尺，其事火重。用金尺则兵，用木尺则丧，用土尺则乱，用水尺则律吕合调，天下和平。魏及周、齐，贪布帛长度，故用土尺。今此乐声，是用水尺。江东尺短于土，长于水。俗间不知者，见玉作，名为玉尺，见铁作，名为铁尺。诏施用水尺律乐，其前代金石，并铸毁之，以息物议。
至仁寿四年，刘焯上启于东宫，论张胄玄历，兼论律吕。其大旨曰：「乐主于音，音定于律，音不以律，不可克谐，度律均钟，于是乎在。但律终小吕，数复黄钟，旧计未精，终不复始。故汉代京房，妄为六十，而宋代钱乐之更为三百六十。考礼诠次，岂有得然，化未移风，将恐由此。匪直长短失于其差，亦自管围乖于其数。又尺寸意定，莫能详考，既乱管弦，亦舛度量。焯皆校定，庶有明发。」其黄钟管六十三为实，以次每律减三分，以七为寸法。约之，得黄钟长九寸，太簇长八寸一分四厘，林钟长六寸，应钟长四寸二分八厘七分之四。其年，高祖崩，炀帝初登，未遑改作，事遂寝废。其书亦亡。大业二年，乃诏改用梁表律调钟磬八音之器，比之前代，最为合古。其制度文议，并毛爽旧律，并在江都沦丧。
○律管围容黍
《汉志》云：「黄钟围九分，林钟围六分，太簇围八分。」《续志》及郑玄并云：「十二律空，皆径三分，围九分。」后魏安丰王依班固《志》，林钟空围六分，及太簇空围八分，作律吹之，不合黄钟商徵之声。皆空围九分，乃与均钟器合。开皇九年平陈后，牛弘、辛彦之、郑译、何妥等，参考古律度，各依时代，制其黄钟之管，俱径三分，长九寸。度有损益，故声有高下；圆径长短，与度而差，故容黍不同。今列其数云。
晋前尺黄钟容黍八百八粒。
梁法尺黄钟容八百二十八。
梁表尺黄钟三�